Hay dos aceleraciones involucradas: La aceleración gravitacional$g$que apunta hacia abajo, y la aceleración centrípeta$a_r = \frac{v^2}{r}$que apunta a lo largo del radio vector de la curva. La componente de la aceleración gravitatoria que es tangencial a la curva no contribuye a la fuerza g ya que acelera el carro y a nosotros en esta dirección. Sentimos la componente de la aceleración gravitatoria que apunta a lo largo del radio vector dado por$a_g = g \text{sin}\phi$dónde$\phi \in [0,\frac{\pi}{2}]$es el ángulo que empieza en cero cuando entras en la curva y termina en$\frac{\pi}{2}$cuando entras en la parte horizontal. Podemos sumar las dos aceleraciones ya que son paralelas:

$$a_{tot} = a_g +a_r$$

Ahora observamos:$v = \sqrt{2g(h+r\text{sin}\phi)}$y entonces

$$a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{2g(h+r\text{sin}\phi)}{r}$$

de este modo:

$$a_{tot} = g \text{sin}\phi + \frac{2g(h+r\text{sin}\phi)}{r} = 3g \text{sin}\phi + \frac{2gh}{r}$$

la fuerza g es$a = \frac{a_{tot}}{g}$de este modo

$$a = 3 \text{sin}\phi + \frac{2h}{r}$$

Entonces, la fuerza g no es constante, sino que depende de dónde se encuentre en la curva (en$\phi$). Y como el pecado es monótono aumentando sobre$[0,\frac{\pi}{2}]$también lo es la fuerza g. alcanza su máximo al entrar en la parte horizontal.

Lo que también podría querer observar es que si construye una montaña rusa como esta, la gente correría gritando, ya que la fuerza g no continúa. Hay un salto al entrar en la curva y un gran salto al pasar a la horizontal. Y básicamente en estas discontinuidades la fuerza g es infinita :)

La montaña rusa cae una altura$h$antes de entrar en el bucle (la ruta del RC se verá como una J. La parte recta de la J tiene una longitud$h$), y supongo que comenzó con velocidad cero. Dentro del bucle, su energía cinética total será igual a la energía potencial total perdida, que es

$$E_\text{kin}=mg(h+r\sin\theta).$$ Aquí $\theta$se define de tal manera que es cero al final del bit recto de la J, es decir, se define con respecto a un eje horizontal. También tenga en cuenta que $h+r\sin\theta$es solo la altura total que ha perdido el RC. Por lo tanto, en cualquier punto del círculo, la velocidad del RC es $$v=\sqrt{2g(h+r\cos\theta)}.$$ La fuerza total sobre el CR tiene dos componentes. Uno está dirigido directamente al centro del giro, como dijiste, y el otro es la gravedad. En ausencia de este último, la aceleración centrípeta (su segunda fórmula) $$a=\frac{2g(h+r\sin\theta)}{r}$$ sería suficiente para forzar el RC en un camino circular. Sin embargo, la gravedad también trata de alejar el RC del círculo, agregando una contribución $$a_\bot=g\sin\theta.$$ (Este es simplemente el componente de $g$que apunta radialmente hacia afuera.) Por lo tanto, el total $g$-fuerza (=aceleración total dividida por $g$) es $$\frac{2(h+r\sin\theta)}{r}+\sin\theta = \frac{2h}{r}+3\sin\theta.$$ De hecho, la fuerza apunta radialmente hacia adentro (recuerde que no puede "sentir" el tirón de la gravedad; la única fuerza es la de las pistas que solo puede empujar "hacia arriba" y ni hacia adelante ni hacia atrás (despreciando la fricción, por supuesto) ).

SECCIÓN A: Caída libre de montaña rusa en movimiento circular (cinética)

Supongamos que la montaña rusa, llamada en adelante "partícula", está en reposo en el punto A ($\:\upsilon_{A}=0\:$) y comienza caída libre hasta el punto B donde inicia su movimiento circular. Bien conocido es que en B la velocidad es$\:\upsilon_{B}=\sqrt{2gh}\:$bajo el supuesto de que no hay pérdida de energía (resistencia del aire cero, etc.).

Ahora, si el significado de$\:g$-la fuerza en el presente caso es la aceleración causada por la fuerza de "empuje hacia arriba"$\:\mathbf{T}\:$en$\:g \:$unidades, entonces debemos determinar la magnitud$\:T=\Vert\mathbf{T}\Vert \:$y por esto:$\:g$-fuerza =$\: T/mg\:$.

Como se muestra en la figura anterior, la fuerza$\:\mathbf{T}\:$es normal a la órbita circular con la suposición de que no hay fricción. Si$\:\mathbf{W}\:$es el peso de la partícula y$\:\mathbf{a}\:$su aceleración entonces:

$$\begin{equation} \mathbf{T} + \mathbf{W}= m\mathbf{a} \tag{A-01} \end{equation}$$ Es conveniente utilizar el $\:\left(r,\theta \right)\:$coordenadas la expresión de $\:\mathbf{a}\:$como se demuestra en la SECCIÓN B , ecuación (B-13), es

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\underbrace{\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}}_{centripetal}+\underbrace{\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta}}_{orbital} =\mathbf{a}_{r}+\mathbf{a}_{\theta} \tag{A-02} \end{equation}$$ Entonces el análisis de (A-01) en $\:\mathbf{e}_{r}\:$y $\:\mathbf{e}_{\theta}\:$componentes es respectivamente $$\begin{align} \left( \mathbf{T} + \mathbf{W}\right)\circ\mathbf{e}_{r} &= m\mathbf{a}_{r}\: \Longrightarrow \: -T + mg\sin\theta =- mr\dot{\theta}^2 \tag{A-03a}\\ \left( \mathbf{T} + \mathbf{W}\right)\circ\mathbf{e}_{\theta} &= m\mathbf{a}_{\theta}\: \Longrightarrow \: mg\cos\theta =mr\ddot{\theta} \tag{A-03b}\\ \end{align}$$ Solo la ecuación (A-03a) es importante aquí ya que $$\begin{equation} T= m\;r\dot{\theta}^2 + m\;g\sin\theta \tag{A-04} \end{equation}$$ Para encontrar una expresión para $\:\dot{\theta}\:$usamos la ecuación (B-09) $$\begin{equation} \dot{\theta}=\dfrac{\upsilon}{r} \tag{A-05} \end{equation}$$ ya que en este caso y en cualquier instante $\:t\:$el movimiento es en sentido antihorario ( $\:\dot{\theta}> 0\:$).

La magnitud$\:\upsilon \:$en cualquier punto P en la órbita circular se determina a partir de la conservación de energía bajo el supuesto de que no hay pérdida de energía (resistencia del aire cero, fricción cero en la pista, etc.):

$$\begin{equation} \dfrac{1}{2}m \Delta \upsilon^{2} + mg\Delta y = 0\:\Longrightarrow \: \dfrac{1}{2}m \left( \upsilon^{2}-\upsilon_{A}^{2}\right)=mg\left(h+r\sin\theta\right) \tag{A-06} \end{equation}$$ entonces (desde $\:\upsilon_{A}=0\:$) $$\begin{equation} \upsilon=\sqrt{2g\left(h+r\sin\theta\right)} \tag{A-07} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} r\dot{\theta}^2=\dfrac{2g\left(h+r\sin\theta\right)}{r} \tag{A-08} \end{equation}$$ Insertando la expresión anterior en (A-04) se obtiene $$\begin{equation} T= mg\left( \dfrac{2h}{r}+3\sin\theta\right) \tag{A-09} \end{equation}$$ Finalmente $$\begin{equation} \text{$g$-force}=\dfrac{T}{mg} = \dfrac{2h}{r}+3\sin\theta \tag{A-10} \end{equation}$$

Nota: En la figura anterior debajo de la escala, la relación$\:\dfrac{h}{r}\:$, la posición P (es decir$\:\sin\theta\:$) y el resultado$g$-fuerza son los siguientes

$$\begin{equation} \dfrac{h}{r}=0.40 \:,\quad \sin\theta =0.60 \:\Longrightarrow \: \text{$g$-force}=2.60 \tag{A-11} \end{equation}$$

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SECCIÓN B: Cinemática de una partícula en movimiento circular

El siguiente análisis se refiere exclusivamente a la cinemática de una partícula en movimiento circular plano. Es un caso especial de un movimiento curvilíneo plano que a su vez es un caso especial entre los movimientos curvilíneos en el espacio.
El movimiento de una partícula viene dado por la función vectorial$\mathbf{r}\left(t\right)$, es decir por su posición en el tiempo$\:t \:$. El vector de velocidad$\mathbf{v}\left(t\right)$es la tasa de cambio en el tiempo de este vector de posición

$$\begin{equation} \mathbf{v}\left(t\right)\equiv \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}= \dot{\mathbf{r}} \tag{B-01} \end{equation}$$

Usaremos un punto superior o dos puntos superiores para la 1ra o 2da derivada con respecto a$\:t\:$, Por ejemplo

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{r}}\equiv \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\;, \quad \dot{\theta}\equiv \dfrac{d\theta}{dt}\;, \quad \ddot{\theta}\equiv \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} \tag{B-02} \end{equation}$$

Ahora, sea un sistema de coordenadas$\:\left(x,y\right)\:$en el plano como en la figura anterior y$\:\mathbf{i},\mathbf{j}\:$los vectores básicos unitarios a lo largo del eje$\:Ox,Oy\:$respectivamente. Para un movimiento circular plano, el vector de posición$\mathbf{r}\left(t\right)$de la partícula se puede expresar de la siguiente manera:

$$\begin{equation} \mathbf{r}\left(t\right)= \left[r \cos \theta \left(t\right)\right]\mathbf{i}+\left[r \sin \theta \left(t\right)\right]\mathbf{j} \tag{B-03} \end{equation}$$

Tenga en cuenta que todas las cantidades como vector de posición$\:\mathbf{r}\:$, vector de velocidad$\:\mathbf{v}\:$, vector de aceleración$\:\mathbf{a}\:$, ángulo$\:\theta\:$y como vemos a continuación los vectores unitarios$\:\mathbf{e}_{r},\mathbf{e}_{\theta}\:$son funciones del tiempo por lo que es conveniente omitir$\:t\:$. La magnitud$\:r=\Vert\mathbf{r}\Vert\:$del vector de posición es, por supuesto, constante en el tiempo.

Entonces (B-03) produce

$$\begin{equation} \mathbf{r}= r\left[\left(\cos\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\sin\theta\right)\mathbf{j}\right]= r\mathbf{e}_{r} \tag{B-04} \end{equation}$$ donde por definición $$\begin{equation} \mathbf{e}_{r} \equiv \left(\cos\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\sin\theta\right)\mathbf{j} \tag{B-05} \end{equation}$$ es un vector unitario a lo largo de $\:\mathbf{r} \:$, como en la figura. El vector de velocidad es $$\begin{equation} \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}= \dot{\mathbf{r}}=r\dot{\theta}\left[\left(-\sin\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\cos\theta\right)\mathbf{j}\right]= r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-06} \end{equation}$$ donde por definición $$\begin{equation} \mathbf{e}_{\theta} \equiv \left(-\sin\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\cos\theta\right)\mathbf{j} \tag{B-07} \end{equation}$$ es un vector unitario tangente a la circunferencia y normal a $\:\mathbf{r} \:$, como en la figura. Tenga en cuenta que :

(a) La cantidad$\:\dot{\theta}\:$es esencialmente la velocidad angular instantánea

$$\begin{equation} \dot{\theta}\equiv \dfrac{d\theta}{dt}=\omega\left(t\right) \tag{B-08} \end{equation}$$ Si $\:\dot{\theta}=\omega_{o}=\text{constant}$, entonces tenemos un movimiento circular uniforme.

(b) de (B-06) para la magnitud$\:\upsilon\:$de la velocidad$\:\mathbf{v} \:$

$$\begin{equation} \upsilon =r\vert\dot{\theta}\vert=r\vert\omega\vert \tag{B-09} \end{equation}$$ dónde $\:\omega=\dot{\theta}> 0\:$( $\:<0\:$) si la partícula se mueve instantáneamente en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido horario).

(c) como regla general, si un vector variable$\:\mathbf{w}\left(\lambda\right)\:$, dónde$\:\lambda \:$un parámetro real, tiene norma constante, entonces su 1ra derivada siempre es normal a él

$$\begin{equation} \Vert\mathbf{w}\Vert ^{2}=\text{const}\rightarrow \mathbf{w}\circ \mathbf{w}=\text{const}\rightarrow \dfrac{d\left( \mathbf{w}\circ \mathbf{w}\right)}{d\lambda}=0\rightarrow \left( \mathbf{w}\circ \dfrac{d\mathbf{w}}{d\lambda}\right)=0 \tag{B-10} \end{equation}$$ Es por eso $\:\dot{\mathbf{e}}_{r}=\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\:$, eso es $\:\mathbf{e}_{\theta}\:$, siempre es normal $\:\mathbf{e}_{r}\:$.

para la aceleracion$\:\mathbf{a}\:$tenemos de (B-06)

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d\left(r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\right)}{dt}=\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}+\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-11} \end{equation}$$ desde (B-07) $$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}_{\theta}=\;-\;\dot{\theta}\mathbf{e}_{r} \tag{B-12} \end{equation}$$ La ecuación (B-11) se escribe como $$\begin{equation} \mathbf{a}=\underbrace{\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}}_{centripetal}+\underbrace{\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta}}_{orbital} =\mathbf{a}_{r}+\mathbf{a}_{\theta} \tag{B-13} \end{equation}$$

vector de aceleración$\:\mathbf{a}\:$se analiza en dos componentes normales

(1) La llamada aceleración centrípeta

$$\begin{equation} \mathbf{a}_{r} \equiv \left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r} \tag{B-14} \end{equation}$$ que apunta siempre hacia adentro del centro y está "tratando" de cambiar solo la dirección del vector de velocidad $\:\mathbf{v}\:$, y

(2) La aceleración orbital (tangente)

$$\begin{equation} \mathbf{a}_{\theta} \equiv \left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-14} \end{equation}$$ que siempre es tangente al círculo y está "tratando" de cambiar solo la magnitud del vector de velocidad $\:\mathbf{v}\:$. Tenga en cuenta que el vector de aceleración $\:\mathbf{a}\:$no apunta al centro en general.

Estas bien.

Sí, puedes suponer que es una velocidad constante, siempre y cuando$h \gg r.$Según recuerdo, las expresiones involucradas son extremadamente simples siempre y cuando no trates de averiguar exactamente lo que está sucediendo en el tiempo: en realidad, resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange te da algún tipo de$\int d\theta / \sqrt{a + b \sin\theta} = t$ecuación para$\theta(t)$, o algo horrible como eso.

Entonces, tengamos algunas coordenadas y geometría: comienzas en$[x, y] = [0, r + h]$, entonces en$[x, y] = [0, r]$entras en un círculo centrado en$[r, r]$: y tu progreso a lo largo de ese círculo lo denotaré con$\theta$como$\vec r = [x, y] = [r, r] - r\cdot[\cos\theta, \sin\theta]$. Entonces emerges después$\theta = \pi/2$en la posición$[r, 0]$, avanzando. Expresaremos las derivadas temporales como puntos y definiré$\omega = \dot\theta$.

Su aceleración neta durante este arco es$\vec a(\theta) = - g\cdot[0, 1] + c(\theta)\cdot [\cos\theta, \sin\theta]$para algunos $c(\theta)$, ya que esa es la dirección en la que empuja la fuerza de restricción. Sin embargo sabemos que este también debe tener una forma muy especial:

$$\ddot{\vec r} = \frac{d}{dt} \left(r~\omega~[\sin\theta, -\cos\theta]\right)= r~ \dot\omega~ [\sin\theta, -\cos\theta] + r~ \omega^2~ [\cos\theta, \sin\theta].$$ El $x$-component da la versión más simple de esta restricción, $c(\theta) = r~ \dot\omega~ \tan\theta + r~ \omega^2.$

Desde$\dot{\vec r} = \vec v = r~\omega~[\sin\theta, \cos\theta]$, podemos afirmar rápidamente que a partir de la conservación de la energía

$$v^2 = r^2\omega^2 = 2g(h + r\sin\theta),$$ ya que la fuerza de restricción no realiza trabajo. Con una derivada temporal esto también da $$r^2~2~\omega ~\dot \omega = 2 ~g ~r~\omega~ \cos\theta$$ entonces tenemos $r \omega^2 = 2g(\sin\theta + h/r)$y $r~\dot\omega=g\cos\theta,$así que si he hecho bien todas las matemáticas, $$c(\theta) = g~\left(3~\sin\theta + 2~\frac hr\right).$$ en el limite $h\gg r$obtienes una constante aproximada $c(\theta) = 2 h g / r$, por lo que su fuerza g en el giro se maximiza en $\theta\approx0$donde es $a \approx \sqrt{g^2 + c^2} \approx c.$

Esta solución corresponde exactamente a$v^2 / r$con$v = \sqrt{2 g h}$, como te inclinas a hacer.

si no tienes$h \gg r$, entonces tendrá que promediar el espacio de la fuerza (como dije, promediar el tiempo es probablemente una pesadilla) o maximizar la fuerza con

$$\frac d{d\theta} \big\lVert[c(\theta)~\cos(\theta),~~c(\theta)~\sin(\theta) - g]\big\rVert = 0.$$ En general, encontrará que su aceleración apunta "casi" al centro de rotación, pero un poco más abajo, porque la fuerza gravitacional también está allí.

No sé si puedo usar la ecuación de movimiento circular uniforme ya que v no es constante

La ecuación de la fuerza centrípeta es independiente de si el movimiento es uniformemente circular o no.

Sin embargo, independientemente del radio de la pista, la velocidad en ese punto y el peso de la montaña rusa, o si la ecuación de la fuerza centrípeta sigue siendo válida, etc.; dado que se vuelve horizontal en ese punto en particular, cualquier fuerza que deba causar su 'fuerza g' debe estar actuando en la dirección horizontal. Como tal fuerza no actúa en la horizontal, la fuerza g sobre ti tan pronto como te pones en posición horizontal es cero . Tan sencillo como eso.

Hiciste dos preguntas simples; daré dos respuestas simples.

No sé si puedo usar la ecuación de movimiento circular uniforme ya que v no es constante

En el mismo instante en que comienza la curva, la velocidad está dada por$\sqrt{2gh}$- y para esa primera instancia es constante. Entonces sí, puedes usar movimiento circular uniforme

¿Hacia dónde se dirige la fuerza g? ¿El centro del giro?

Depende de cómo defina "fuerza G". Por lo general, es la "aceleración no gravitatoria experimentada". Si es así, entonces está apuntando al centro del círculo en el momento en que comienzas a moverte alrededor del círculo.

Si acepta que una persona experimenta "1 g" cuando está parada, entonces la fuerza g debida a la gravedad dependerá del ángulo del riel; aumentará con la$\sin$del ángulo del vector radial, y hará que la fuerza apunte ligeramente por encima del centro del círculo.

Por supuesto, las pistas de una montaña rusa real describen una spline, es decir, la tasa de cambio de la curvatura es continua. De lo contrario, el cambio repentino en la fuerza g sería muy desagradable.