dadas n líneas aleatorias en un plano 2d, ¿cuál es la probabilidad de tener menos de k puntos de intersección?

En el espacio euclidiano, líneas uniformemente distribuidas (seleccione pendiente e intercepte uniformemente desde un cuadrado unitario)

por ejemplo, n = 2,

cuando k ≤ 1 la probabilidad es 1. dos líneas como máximo pueden intersecarse una vez.

¿Qué pasa con n = 3, 4, 5 ..?

Para hacer un problema de probabilidad , uno necesita asignar una distribución de probabilidad para posibles "líneas aleatorias en un plano 2d", o al menos asumir algo sobre la probabilidad de que con norte líneas, más de dos compartirán un punto común de intersección.
Gracias por el recordatorio ! Me interesa Uniforme aleatorio

Respuestas (1)

No existe una forma estándar de elegir una línea en el plano uniformemente al azar.

Sospecho que con cualquier distribución razonable, norte líneas elegidas al azar estarán en posición general con probabilidad 1 . Eso significa que con probabilidad 1 cada línea se intersecará entre sí en un solo punto, sin intersecciones de tres vías. Eso conducirá a norte ( norte − 1 ) / 2 puntos de intersección. La probabilidad de cualquier otro número de intersecciones será 0 .

Puede encontrar lecturas relacionadas interesantes aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)

¿Qué pasa con la relación de selección y la intercepción uniformemente desde un cuadrado unitario?
@pengyu Esa es una distribución posible (suponiendo que la "proporción" es lo que generalmente se llama "pendiente"). conjeturo que norte las líneas aleatorias estarán en posición general (solo mire las ecuaciones lineales que deben resolverse). Por supuesto, muchas de las intersecciones estarán fuera del cuadrado de la unidad. Si tiene un contexto en el que tiene razones para esperar menos intersecciones, edite la pregunta para darnos más de ese contexto.
gracias por corregir mi lenguaje! y estoy más interesado en la distribución de probabilidad en lugar del número esperado o extremo de puntos de intersección.
De nada. Creo que la distribución de probabilidad es aburrida: todo menos el máximo (posición general) tiene probabilidad 0 .
Cierto... gracias! Y lo siento, mi contexto es que mi cerebro enumera este problema por mí mismo. juntando algunos conceptos y tratando de ver si realmente entiendo la probabilidad. Supongo que aprender es aburrido...
No, aprender no es aburrido. El hecho de que estas distribuciones sean aburridas es interesante.
mathoverflow.net/questions/82622/… encontró un problema relacionado interesante
dadas n líneas aleatorias en un plano 2d, ¿cuál es la probabilidad de tener menos de k puntos de intersección?
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