A los profesores de matemáticas/física les encanta romper el péndulo doble como ejemplo de movimiento caótico que es muy sensible a las condiciones iniciales. Tengo algunas preguntas sobre propiedades específicas:
Para un péndulo doble simple (que definiré como dos masas iguales unidas por dos brazos sin masa de la misma longitud) ¿es el estado de energía inicial más alto cuando ambas masas están completamente elevadas verticalmente, como sugiere la intuición?
http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum#Chaotic_motion contiene un gráfico de condiciones para las cuales el péndulo doble "voltea" o no voltea. Mi pregunta es: ¿un "volteo" del péndulo superior o inferior implica un movimiento caótico posterior, o hay ciertas energías para las que podemos predecir completamente el movimiento y los giros? Por el contrario, si estamos en energías bajas donde ni el péndulo superior ni el inferior pueden girar, ¿podemos seguir teniendo un sistema caótico o todas esas energías tienen movimientos predecibles?
Es cierto que el doble péndulo exhibe un comportamiento integrable, cuando los ángulos iniciales son muy pequeños, sin embargo, en general, es muy difícil caracterizar el comportamiento caótico del doble péndulo en términos de los ángulos iniciales. Hay otras representaciones que proporcionan una imagen más clara de su comportamiento caótico.
La sección introductoria del siguiente artículo de OA Richter, y la referencia en él, describen las principales características de la integrabilidad del doble péndulo (ver aquí la versión del diario oficial). Voy a resumir aquí los hechos principales:
(Observaciones: Los valores numéricos corresponden a un péndulo doble estándar de masas unitarias y longitudes de varilla unitarias y aceleración unitaria debida a la gravedad)
La energía total del péndulo doble es una constante de movimiento. El péndulo doble posee 4 puntos de equilibrio correspondientes a energías totales . La energía total determina la topología de las hipersuperficies de energía, por , las hipersuperficies de energía son tres esferas, mientras que para , las hipersuperficies de energía son tres toros.
Para comprender mejor este punto, en el caso de energías muy bajas, el sistema se puede aproximar (linealizar) a un oscilador armónico isotrópico. Las hipersuperficies de energía son entonces de la forma , mientras que para el caso de energías muy grandes, la energía cinética domina y podemos despreciar la gravedad. En este caso, hay dos tipos de soluciones de la ecuación de movimiento, una en la que la varilla exterior gira y la varilla interior oscila, y la segunda en la que ambas varillas giran. La transición entre los dos tipos de soluciones está determinada por el valor del ángulo total cantidad de movimiento que se convierte en una constante de movimiento (debido a la falta de gravedad). Para el péndulo doble estándar, la transición ocurre en .
Ambos límites (pequeñas y grandes energías) corresponden a sistemas integrables . Esto es bien conocido, pero aquí hay una breve explicación. Para ver que el oscilador armónico isotrópico es integrable, es necesario resolver las ecuaciones de movimiento en coordenadas polares. El ángulo polar simplemente gira con una velocidad angular constante, y las coordenadas radiales oscilan de tal manera que la trayectoria tiene la forma de un curso de dos viajes a través del agujero de dona dibujado en la superficie de un toroide de dos. Este es el toro de Liouville-Arnold (cuya existencia indica la integrabilidad del sistema) con respecto al cual se folia la hipersuperficie de energía de las tres esferas.
En el límite de alta energía, existe un toroide de Liouville-Arnold similar cuando la barra interior oscila y un toroide generado por los dos ángulos polares cuando los dos ángulos giran. (Aquí la solución exacta es más difícil; véase, por ejemplo, el siguiente artículo de Enolskii, Pronine y Richter.
Ahora bien, dado que ambos límites de energía nula y muy alta corresponden a sistemas integrables, la energía total también controla las características del sistema, pero la dependencia aquí es mucho más complicada. La transición de la integrabilidad al caos y viceversa a medida que la energía total disminuye de infinito a cero se describe en la figura 2 del artículo de Richter. Hay muchos detalles, pero aquí están las características principales: La figura corresponde a la proyección de las trayectorias en el plano atravesado por el ángulo de la barra exterior y los momentos angulares totales. Para momentos angulares muy grandes, las proyecciones de las trayectorias son líneas horizontales con momentos angulares constantes (que es una constante de movimiento). A medida que se reduce la energía, se forman dos regiones caóticas disjuntas, las trayectorias integrables corresponden a toros racionales e irracionales, junto con resonancias estables. Alrededor de E = 10,352, que corresponde a la proporción de vueltas áureas, todos los toros irracionales desaparecen y se produce una transición al caos global. Las resonancias estables también se desvanecen eventualmente, a bajas energías comienzan a aparecer las resonancias correspondientes a la segunda región integrable.
Aquí hay una página de simulación interactiva con derivación de fórmulas que pueden ilustrarlo.
Si la energía en el sistema es solo la energía gravitacional, entonces sí, la posición inicial vertical tendrá la energía potencial más alta que se transmutará en cinética cuando se suelte. La energía se conserva, el potencial cinético + es constante, por lo que la "posición" ayuda a determinar la energía inicial del sistema. En caso contrario, si se aporta energía cinética será el potencial máximo + la cinética añadida. Lo que no tiene respuesta es también la "posición" en este caso, ya que dependerá de cómo se transmita el impulso.