¿Existe una fórmula de forma cerrada para la fuerza entre dos masas? y si se incluyen los efectos relativistas? Tengo entendido que la fórmula clásica es solo una aproximación (que probablemente sea lo suficientemente buena incluso para ir a la Luna), pero ¿cuál sería la fórmula correcta según la teoría general de la relatividad? ¿Existe siquiera una fórmula cerrada? ¿Por ejemplo para una situación idealizada de dos masas esféricas uniformes?
Peor que la electrodinámica, la relatividad general no es lineal, en el sentido de que el campo de múltiples fuentes no es solo la suma de los campos de cada fuente aislada. Incluso el caso simple por el que pregunta, que es el problema de los dos cuerpos en la relatividad general , no se ha resuelto exactamente.
Un caso aún más simple es el límite . En ese caso solo afecta la geometría del espacio-tiempo, y sigue una geodésica en ese espacio-tiempo. Esto se ha solucionado exactamente. El artículo vinculado da detalles.
[Anexo] Para responder directamente a la pregunta original sobre el límite :
Por supuesto si , entonces la fuerza entre las dos masas es . Pero lo que pasa con la gravedad clásica es que la aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa. (Este es el principio de equivalencia y es en realidad uno de los puntos de partida de la teoría de la relatividad general). Por lo tanto, todavía tiene sentido preguntar cuál sería la aceleración de una masa despreciable (también conocida como un cuerpo de prueba ) debido a la gravedad de otra masa. La respuesta clásica es .
En relatividad general, la aceleración de un cuerpo de prueba debido a la gravedad de una sola masa esférica, homogénea y no giratoria viene dada exactamente por la solución de Schwarzschild , cuyo enlace puede consultar para obtener más detalles. cuyo resultado es que
dónde y son coordenadas polares centradas en la masa gravitante, los puntos representan la diferenciación por el tiempo propio del cuerpo de prueba.
Entonces, el primer término es solo la aceleración radial clásica. . Los términos y son la aceleración centrífuga y de Coriolis clásica para coordenadas polares.
Lo que no es clásico es el término extra . Finalmente, está el hecho de que la diferenciación es con respecto al tiempo propio del cuerpo de prueba. Diferentes cuerpos de prueba experimentarán el tiempo de manera diferente. Pueden estar relacionados por:
El constante se introduce por simplicidad. Se llama el radio de Schwarzschild de la masa gravitante.
Aquí la coordenada se introduce como un tiempo de referencia, por lo que es la tasa de cambio del tiempo de referencia con respecto al tiempo propio del cuerpo de prueba. Para un lejano ( ), estacionario ( ) cuerpo de prueba, esto se convierte en , por lo que el tiempo de referencia se puede interpretar como el tiempo medido en un reloj estacionario distante.
En el caso clásico, por supuesto, todos los cuerpos experimentan el mismo tiempo, pero también se puede comparar con el caso relativista especial, donde la ecuación sería:
Entonces, lo que es nuevo en la relatividad general es el factor . Para tener una idea de la escala, para la Tierra, es aproximadamente una parte y media por billón en la superficie de la Tierra. (Tenga en cuenta que la solución de Schwarzschild solo es aplicable fuera del cuerpo gravitante).
Esto es exacto solo para , pero sigue siendo una muy buena aproximación mientras es mucho más pequeño que , como para un planeta que orbita alrededor de una estrella.
Sí, la ecuación de movimiento no relativista.
para una sola partícula que interactúa gravitatoriamente con otra solo es válida para velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz y para masas suficientemente pequeñas. Fíjate en el signo menos en la expresión de la fuerza no relativista F --la gravitación es atractiva--.
Primero , la relatividad general es una teoría (geo)métrica. No hay fuerzas gravitatorias en la relatividad general . En la relatividad general, los cuerpos afectados solo por la gravitación se mueven libremente , pero en un espacio-tiempo curvo
(fuente: twimg.com )
La ecuación relativista general de movimiento para un solo cuerpo es la ecuación geodésica
Nótese el cero a la derecha, que es consecuencia de la ausencia de fuerzas gravitatorias en la relatividad general. Los índices griegos se ejecutan sobre 0,1,2,3 --las coordenadas del espacio-tiempo-- y se utiliza la convención de suma. es el cuatro impulso, el tiempo adecuado y denota la derivada covariante, que incluye los efectos debido a la curvatura del espacio-tiempo
dónde son los símbolos de Christoffel y la de cuatro velocidades.
En segundo lugar , la teoría de campo de la gravedad proporciona una descripción no geométrica de la gravedad. Hay fuerzas gravitatorias en la teoría del campo . En esta teoría, los cuerpos afectados solo por la gravitación se mueven en un espacio-tiempo plano --a veces esto se llama el enfoque de la gravitación en el espacio-tiempo plano-- pero sienten una fuerza gravitacional asociada a los gravitones.
(fuente: twimg.com )
La ecuación de movimiento de teoría de campo para un solo cuerpo en un campo gravitatorio es la ecuación de Kalman
dónde es la fuerza gravitacional exacta con
y
Aquí es el potencial del campo gravitacional y la coma denota la derivada parcial plana ordinaria del espacio-tiempo.
Como en la electrodinámica, las fuerzas se retardan, las ecuaciones correspondientes se complican e incluyen también la radiación.
La expresión que en realidad usa el JPL para calcular/aproximar los efectos relativistas según las promesas dadas proviene de la "expansión post-newtoniana" en el nivel 1PN e, incluida la aceleración newtoniana clásica, parece:
Básicamente, están introduciendo un componente que es "gravedad cúbica inversa repulsiva" y dos términos dependientes de la velocidad. Esta expresión también está disponible en el nivel 3PN, consulte esta publicación . Tenga en cuenta que esto es solo una aproximación que puede reproducir el "desplazamiento anómalo del perihelio" en el límite del campo débil. El término de cubo inverso extra repulsivo provoca un comportamiento muy extraño si intenta usarlo en el límite de campo fuerte. Aquí hay algunas simulaciones que hice donde el círculo verde denota el radio de Schwarzschild y el círculo rojo denota la distancia radial a la "órbita circular estable más interna". Es fácil ver el rebote causado por el término del cubo inverso repulsivo:
Nota: Esta es la expresión para el caso de relación de masa infinita. Si no puede usar la aproximación de la relación de masa infinita, creo que la expresión sería más complicada.
Creo que si consideramos una masa mucho mayor, entonces la fuerza se vuelve relativista:
david z
Abhimanyu Pallavi Sudhir
qmecanico
Mateo Cristóbal Bartsh