¿Cuál es la dirección de quemado óptima para bajar el periapsis de la órbita hiperbólica?

Si observa este problema en 2D, tiene los siguientes parámetros en algún instante que describen su trayectoria (posición y velocidad) alrededor de un cuerpo celeste con parámetro gravitacional$\mu$, radio$r$, velocidad radial$v_r$y velocidad tangencial$v_t$. También hay algunos otros, pero estos realmente no importan en este problema, debido a la simetría.

Puede calcular el radio de su periapsis usando las ecuaciones para el semieje mayor y la excentricidad , que cuando se expresa en$\mu$,$r$,$v_r$y$v_t$parece

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - \left(v_r^2 + v_t^2\right) r}, \tag{1}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{\left(v_r^2 + v_t^2\right) r}{\mu} \left(\frac{v_t^2 r}{\mu} - 2\right)}, \tag{2}$$

$$r_{pe} = a (1 - e), \tag{3}$$

con$a$el eje semi-mayor,$e$la excentricidad y$r_{pe}$el periapsis.

Ahora, si calculas la derivada temporal total del periapsis, debería ser cero, si no se aplica ninguna otra fuerza externa además de la gravedad newtoniana, porque sin perturbación, cada elemento orbital debería permanecer constante,

$$\frac{d p_{pe}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \dot{v}_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \dot{v}_t = 0, \tag{4}$$

dónde$\dot{v}_r$y$\dot{v}_t$son las derivadas temporales de$v_r$y$v_t$respectivamente, que es igual a las componentes vectoriales de la aceleración neta.

Si ahora aplica una fuerza/aceleración adicional quemando los motores en ángulo$\phi$en relación con la dirección tangencial, como se ilustra en la imagen a continuación, ecuación$(4)$ahora no necesariamente será igual a cero.

La magnitud de la aceleración adicional es$f$. Al aplicar esta aceleración y usar esa ecuación$(4)$es cero la derivada temporal de$r_{pe}$se convierte,

$$\frac{d p_{pe,f}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \left(\dot{v}_r - f \sin\phi\right) + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \left(\dot{v}_t + f \cos\phi\right) = f \left(\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \cos\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \sin\phi\right). \tag{5}$$

¿Quieres saber para qué ángulo$\phi$el valor de la derivada temporal de$r_{pe,f}$se convierte en el más grande. Esto se puede hacer diferenciándolo con respecto a$\phi$y resuélvelo cuando establezcas la ecuación resultante igual a cero.

$$\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{d p_{pe,f}}{dt}\right) = f \left(-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \sin\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \cos\phi\right) = 0, \tag{6}$$

resolviendo para$\phi$rendimientos,

$$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r}}{\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t}}\right). \tag{7}$$

La única parte desordenada de esta solución es calcular las derivadas parciales de$r_{pe}$.

Cuando trato de resolverlo para su ejemplo, obtengo un ángulo de -3.2544°, muy cerca de la dirección tangencial, lo que disminuye el momento angular de la órbita, pero también cerca de la perpendicular a la velocidad actual porque la velocidad radial es mayor que la velocidad tangencial.