Mecánica orbital y cohetes: ¿alguna vez es una buena idea bajar el periapsis intencionalmente?

Question

Mecánica orbital y cohetes: ¿alguna vez es una buena idea bajar el periapsis intencionalmente?

steven lu

tl; dr: Hohmann Transfer parece ser la forma óptima de lograr una órbita circular a circular, pero ¿es posible bajar el periapsis para lograr una órbita más elíptica con apoapsis a la misma distancia, usando menos delta-v? que una transferencia de Hohmann?

He estado jugando a un juego increíble llamado Kerbal Space Program, que modela con bastante precisión la mecánica de las naves espaciales que puedes encontrar dentro de un sistema solar.

Estaba leyendo acerca de cómo el efecto Oberth dicta que las quemas de cohetes son mucho más eficientes cuando la velocidad orbital es mayor.

Quiero minimizar el consumo de combustible, que es un esfuerzo noble y práctico. La situación es esta. Se ha establecido una órbita circular estable (o casi circular) alrededor de un planeta. El objetivo es viajar a una ubicación objetivo en órbita alrededor del mismo planeta que se encuentra en una órbita mucho más grande. Estar ya en una órbita baja circular facilita el ajuste de la inclinación para que coincida con la del cuerpo objetivo, por lo que actualmente estoy más interesado en el caso en el que ya estoy en una órbita casi circular en el mismo plano que el de mi cuerpo objetivo.

Es el siguiente paso que me confunde. Veo dos enfoques.

Disparar camiones en dirección progresiva en el periapsis para ganar suficiente energía para llegar a la vecindad del cuerpo objetivo.
Camiones de bomberos en dirección retrógrada en el apoapsis para bajar el periapsis al punto más bajo posible antes de entrar en la atmósfera. (este paso es "deshacer" parte del trabajo realizado al ingresar a la órbita circular original; si el planeta que estamos orbitando es el mismo desde el que lanzamos, es posible inclinar el lanzamiento para que coincida con la inclinación del objetivo y producir esta órbita elíptica desde pero no supongamos que esto es posible por ahora.) En el nuevo periápside más bajo, el encendido del motor progrado es más eficiente.

Estoy ignorando el hecho de que estos nos harán llegar al objetivo en diferentes momentos; dar la vuelta unas cuantas veces debería producir una oportunidad de captura.

Así que creo que lo que esto significa es que el enfoque n.º 2 puede ser preferible si se puede establecer que el n.º 2 puede alcanzar la misma distancia objetivo usando menos delta-v total del motor que con el enfoque n.º 1.

Empecé pensando que quizás la forma matemáticamente más simple de atacar esto es observando la tasa de cambio de energía orbital introducida por estas quemaduras. ¿Cuánto delta-v se necesita para bajar el periapsis a la mitad de su ubicación actual desde una órbita circular? Esto debe equilibrarse con la cantidad de tasa de energía extra ganada por la quema del motor en el periapsis, pero ¿reducir a la mitad el periapsis significa que el delta-v aquí produce 4 veces más energía porque la velocidad orbital es 4 veces más alta? ¿O son 16 veces?

Pero luego me di cuenta de que una órbita circular de radio N tiene mucha más energía específica orbital que una órbita altamente elíptica con apoapsis N. No estoy seguro de entender la prueba, pero la transferencia de Hohmann (por ejemplo, el enfoque n. ° 1 forma la primera mitad de una transferencia de Hohmann) es aparentemente la forma más eficiente de obtener una órbita circular más grande. Sin embargo, no estoy interesado en la segunda quemadura. La segunda quemadura será para establecer una órbita alrededor del cuerpo objetivo y, con suerte, eso debería ser insignificante. No sería predecible de todos modos.

¡Realmente ni siquiera puedo decidir si siempre, a veces o nunca vale la pena hacer esto!

Actualización: lo pensé un poco más, y es posible que una transferencia de Hohmann sea más o menos necesaria porque tener una velocidad orbital muy baja en el apoapsis para el encuentro del cuerpo objetivo no es propicio para establecer una órbita alrededor de él: la velocidad debe ser un coincidencia cercana para lograr la captura gravitacional. En este caso, la respuesta a mi pregunta sería "Probablemente, pero sus suposiciones son erróneas". Es posible que si estamos en una órbita que en realidad es retrógrada a su cuerpo objetivo, este tipo de ataque de alta excentricidad reduciría el movimiento transversal hacia atrás al llegar a la apoapsis, así que eso es algo que he aprendido (tropezado) hoy .

La pregunta original sigue en pie, ¿podemos hacer que nuestra órbita oscile más al reducir intencionalmente el periapsis?

Respuestas (1)

Mecánica orbital y cohetes: ¿alguna vez es una buena idea bajar el periapsis intencionalmente?

Rody Oldenhuis · Answer 1

Generalicemos su idea y veamos si puede ser más eficiente como combustible, al menos en principio .

Llama a tus dos órbitas $\mho_1$ y $\mho_2$ . Ambos tienen eje semi-mayor. $a_2$ y $a_2$ e inclinaciones $i_1$ y $i_2$ respectivamente. Según el problema,

a_{1} < a_{2}

$a_1<a_2$

i_{1} = i_{2}

$i_1=i_2$

y cualquier problema de fase puede ser ignorado. También,

r_{pag 1} = r_{a 1}

$r_{p1} = r_{a1}$

r_{pag 2} = r_{a 2}

$r_{p2} = r_{a2}$

es decir, la distancia apocentro $r_a$ y distancia pericéntrica $r_p$ son iguales, ya que $\mho_1$ y $\mho_2$ son órbitas circulares .

También hagamos suposiciones estándar:

Los cambios de velocidad son instantáneos.
Los empujes se dan exactamente paralelos a la dirección de vuelo.

Ahora vamos a establecer el $\Delta V$ Requisitos para la transferencia Hohmann. La transferencia de Hohmann requiere dos quemaduras:

Una quemadura en cualquier lugar para insertar la nave espacial en la órbita de transferencia elíptica de Hohmann (HTO), con pericentro en altitud $a_1$ y apocentro en altura $a_2$ .
Una quemadura en el apocentro HTO para igualar la velocidad de la nave espacial con la de $\mho_2$ .

Dado que

r_{pag}^{H T O} = a_{1}

$r_p^{HTO}=a_1$

r_{a}^{H T O} = a_{2}

$r_a^{HTO}=a_2$

y que generalmente, para cualquier órbita,

a = \frac{r_{pag} + r_{a}}{2}

$a = \frac{r_p+r_a}{2}$

V = \sqrt{m (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})}

$V = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}$

(que es la ecuación vis viva ), es sencillo deducir que

V_{pag}^{H T O} = \sqrt{2 m (\frac{- a_{1} + a_{2}}{a_{1} (a_{1} + a_{2})})}

$V_p^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{-a_1+a_2}{a_1(a_1+a_2)}\right)}$

V_{a}^{H T O} = \sqrt{2 m (\frac{a_{1} - a_{2}}{a_{2} (a_{1} + a_{2})})}

$V_a^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{a_1-a_2}{a_2(a_1+a_2)}\right)}$

Junto con las velocidades circulares de $\mho_1$ y $\mho_2$ ,

V_{C 1} = \sqrt{\frac{m}{a_{1}}}

$V_{c1} = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}$

V_{C 2} = \sqrt{\frac{m}{a_{2}}}

$V_{c2} = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}$

podemos derivar las magnitudes de los $\Delta V$ requerido:

Δ V_{1}^{H T O} = | V_{pag}^{H T O} - V_{C 1} | = \sqrt{\frac{m}{a_{1}}} (\sqrt{\frac{2 a_{2}}{a_{1} + a_{2}}} - 1)

$\Delta V_1^{HTO} = \left| V_p^{HTO}-V_{c1} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right)$

Δ V_{2}^{H T O} = | V_{a}^{H T O} - V_{C 2} | = \sqrt{\frac{m}{a_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 a_{1}}{a_{1} + a_{2}}})

$\Delta V_2^{HTO} = \left| V_a^{HTO}-V_{c2} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right)$

y por supuesto,

Δ V_{H T O} = Δ V_{1}^{H T O} + Δ V_{2}^{H T O}

$\Delta V_{HTO} = \Delta V_1^{HTO} + \Delta V_2^{HTO}$

Ahora hacemos el mismo tipo de análisis para su otra idea. Llame a su idea una transferencia de tres quemaduras (TBT). El TBT sigue esencialmente los mismos pasos, excepto por el hecho de que ahora hay 3 quemaduras en lugar de 2:

Una quemadura en cualquier lugar para insertar la nave espacial en una órbita de transferencia elíptica, con pericentro en altitud $r_3 < a_1$ y apocentro en altura $a_1$ . El eje semi-mayor $a_3 = (r_3+a_1)/2$ . Llama a esta órbita $\mho_3$ .
Una quemadura en el pericentro de $\mho_3$ , para insertar la nave espacial en otra órbita de transferencia elíptica, con altitud de pericentro $r_3$ y altitud apocentro $a_2$ . El semieje mayor es $a_4 = (r_3+a_2)/2$ . Llama a esta órbita $\mho_4$ .
Una quemadura en el apocentro de esta órbita de transferencia, para igualar la velocidad de la nave espacial con la de $\mho_2$ .

El análisis sigue precisamente los mismos pasos que antes, para llegar a lo siguiente:

\begin{matrix} Δ V_{1} & = & | V_{a}^{℧_{3}} - V_{C 1} | & = & \sqrt{\frac{m}{a_{1}}} (1 - \sqrt{\frac{2 r_{3}}{a_{1} + r_{3}}}) \\ Δ V_{2} & = & | V_{pag}^{℧_{4}} - V_{pag}^{℧_{3}} | & = & \sqrt{\frac{2 m}{r_{3}}} (\sqrt{\frac{a_{2}}{r_{3} + a_{2}}} - \sqrt{\frac{a_{1}}{r_{3} + a_{1}}}) \\ Δ V_{3} & = & | V_{a}^{℧_{4}} - V_{C 2} | & = & \sqrt{\frac{m}{a_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 r_{3}}{r_{3} + a_{2}}}) \end{matrix}

$\matrix{ \Delta V_1 &=& \left| V_a^{\mho_3}-V_{c1} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right)\\ \Delta V_2 &=& \left| V_p^{\mho_4}-V_p^{\mho_3} \right| &=& \sqrt{\frac{2\mu}{r_3}}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right)\\ \Delta V_3 &=& \left| V_a^{\mho_4}-V_{c2} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{r_3+a_2}}\right)}$

también como antes,

Δ V_{T B T} = Δ V_{1} + Δ V_{2} + Δ V_{3}

$\Delta V_{TBT} = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \Delta V_3$

Reorganizando todo esto, su pregunta se reduce a resolver la siguiente desigualdad para $r_3$ :

Δ V_{H T O} > Δ V_{T B T}

$\Delta V_{HTO} > \Delta V_{TBT}$

\to V_{C 1} (\sqrt{\frac{2 a_{2}}{a_{1} + a_{2}}} - 1) + V_{C 2} (1 - \sqrt{\frac{2 a_{1}}{a_{1} + a_{2}}}) > V_{C 1} (1 - \sqrt{\frac{2 r_{3}}{a_{1} + r_{3}}}) + V_{mi s C, 3} (\sqrt{\frac{a_{2}}{r_{3} + a_{2}}} - \sqrt{\frac{a_{1}}{r_{3} + a_{1}}}) + V_{C 2} (1 - \sqrt{\frac{2 r_{3}}{a_{2} + r_{3}}})

$\rightarrow V_{c1}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right) > \\V_{c1}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right) + V_{\mathrm{esc},3}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_2+r_3}} \right)$

Haciendo algunas sustituciones por brevedad:

V_{C 1} A + V_{C 2} B > V_{C 1} C + V_{mi s C, 3} D + V_{C 2} mi

$V_{c1} A + V_{c2} B > V_{c1} C + V_{\mathrm{esc},3} D + V_{c2} E$

Observa eso

V_{mi s C, 3} D \to V_{C 1} A

$V_{\mathrm{esc},3}D \rightarrow V_{c1}A$

mi \to B

$E \rightarrow B$

C \to 0

$C \rightarrow 0$

cuando $r_3 \rightarrow a_1$ . También es fácil ver que

D \to 0

$D \rightarrow 0$

mi \to 1

$E \rightarrow 1$

C \to 1

$C \rightarrow 1$

para $r_3 \rightarrow 0$ . Desde $0<A<1$ y $0<B<1$ , eso significa $\Delta V_{TBT} > \Delta V_{HTO}$ .

También es fácil ver que la transición entre estos dos estados extremos es suave y monótona.

En otras palabras, el valor del lado derecho siempre excede el valor del lado izquierdo. Por lo tanto, la transferencia de tres quemaduras con $r_3 < a_1$ te propones, nunca es es más eficiente que la transferencia de Hohmann.

Es tentador pensar que las mismas ecuaciones se extienden directamente a casos donde $r_3 > a_1$ . Si esto fuera cierto, daría como resultado transferencias más eficientes que las de Hohmann. Sin embargo, estás olvidando que los signos absolutos han sido reemplazados por una ordenación adecuada de los términos, que solo funciona si el primer término es mayor que el segundo. Este orden se invierte cuando $r_3 > a_1$ , volteando todos los signos para que el total $\Delta V_{TBT}$ aumenta con el aumento $r_3$ . es solo en $r_3 = a_1$ que se encuentra la energía mínima, es decir, la transferencia de Hohmann.

Las transferencias de tres quemaduras todavía tienen sus usos. Por ejemplo, las transferencias de varias grabaciones se pueden usar para facilitar ese pequeño problema de "fases" que superó al principio :) O ejecute la transferencia con menos aceleración por grabación, útil para cargas útiles sensibles a la aceleración. O, como mostrarán otros cálculos, es mucho más eficiente usar una transferencia de tres (o más) quemaduras si las dos órbitas $\mho_1$ y $\mho_2$ tienen inclinaciones significativamente diferentes. También podría ser beneficioso si los otros elementos orbitales son diferentes. Pero se han escrito libros enteros sobre este tema, así que dejemos eso para la siguiente pregunta :)

> "es mucho más eficiente usar una transferencia de tres (o más) quemaduras si las dos órbitas $\mho_1$ y $\mho_2$ tienen inclinaciones significativamente diferentes". Cierto, pero de manera más general, tres quemaduras pueden ser más eficientes si las dos órbitas están en planos significativamente diferentes, o, incluso más generalmente, si las dos órbitas tienen un momento angular vectorial significativamente diferente.
@JimVanZandt "Diferentes inclinaciones" equivale a diferentes planos orbitales y diferentes vectores de momento angular; todas estas son formulaciones diferentes del mismo concepto subyacente.

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