¿Cómo calcular la densidad de estados para diferentes modelos de gas?

Para comprender cómo calcular la densidad de estados, primero debe comprender de dónde proviene. En física estadística, a menudo tenemos sumas que se ven así:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}$$ dónde $s$las etiquetas giran y $\vec n$es un vector de números naturales que etiquetan los estados cuánticos, y tiene tantas componentes como el número de dimensiones. Podríamos igualmente escribirlo como sumas sobre sus componentes, $\sum_{n_1}\sum_{n_2}\sum_{n_3}\cdots$. Lo que estamos sumando exactamente no importa al calcular la densidad de estados.

En muchos cálculos, los estados cuánticos están espaciados muy finamente, y podemos reemplazar la suma de los números cuánticos con una integral:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \sum_{s}\int dn_1 dn_2 \cdots dn_D =\sum_{s}\int d^D \vec n$$ dónde $D$es el número de dimensiones. Sin embargo, los números naturales nunca están espaciados finamente, sino que los momentos lo están, por lo que reemplazamos $\vec n$con $\vec k$, suponiendo que el sistema está en una $D$caja de dimensiones: $\vec k = \frac{2\pi}{L}\vec n$. Haciendo esto obtenemos $$\sum_{s}\int d^D \vec n = \sum_{s} \frac{L^D}{(2\pi)^D} \int d^D \vec k$$ Si el sistema no está en una caja, lo único que tenemos que cambiar es reemplazar $L^D$con el $D$volumen dimensional $V$del sistema (por ejemplo, el volumen bidimensional es un área) y continuar como de costumbre.

Para simplificar, ahora también reemplazaremos la suma sobre los giros. Si la cantidad que estamos sumando es independiente del espín, entonces podemos reemplazar$\sum_s \to g_s$dónde$g_s=2s+1$es la degeneración de espín. Para un electrón,$s=1/2$entonces$g_s=2$. Por supuesto, no sabemos lo que estamos sumando, por lo que no sabemos si es independiente del espín, pero al calcular la densidad de estados, generalmente se asume que lo es.

Lo siguiente que hacemos es notar que, por lo general, la cantidad que estamos sumando no depende del vector completo$\vec k$pero solo en su magnitud$|\vec k|=k$. Para deshacernos de la redundancia, vamos a$D$ coordenadas esféricas dimensionales (que tienen un componente radial$k$y$D-1$componentes angulares). Dado que el integrando por suposición no depende de los grados de libertad angulares, podemos integrarlos para obtener el área del$D-1$esfera dimensional:

$$\int d^D \vec k = S_{D-1} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ Puedes convencerte de que es cierto mirándolo el tiempo suficiente o mirando el $D=2$y $D=3$casos: $$\int d^2 \vec k = 2\pi \int_0^\infty dk \, k \,\,\,\,\,\,\,\, \int d^3 \vec k = 4\pi^2 \int_0^\infty dk \, k^2$$ Puedes encontrar la expresión para $S_{D-1}$en la página de wikipedia enlazada arriba.

Como resumen, hasta ahora hicimos lo siguiente:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \frac{V g_s S_{D-1}}{(2\pi)^D} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ En este punto, queremos expresar la integral como uno sobre energía $\epsilon$en lugar de exceso de impulso $k$, y para hacer esto necesitamos conocer la relación de dispersión $\epsilon = \epsilon(k)$. When puede entonces invertirlo y sustituirlo en la integral.

Así por ejemplo en el$2D$caso de gas ideal,$V$es en realidad el área$A$,$S_{D-1} = 2\pi$,$g_s=1$y la relación de dispersión es$\epsilon(k)=\hbar^2 k^2/2m$. invertir,$k=\sqrt{2m \epsilon}/\hbar$entonces obtenemos:

$$\frac{A}{2\pi} \int_0^\infty dk \, k = \int_0^\infty \frac{mA}{2\pi \hbar^2} d\epsilon$$ entonces la densidad de estados en este caso es $\frac{mA}{2\pi \hbar^2}$. Si sigue los pasos anteriores, los cálculos en los otros casos no son difíciles.

Sugerencia: La densidad de estados de energía está relacionada con la densidad de estados en$\textbf{k}$-espacio como:

$g(E)dE = D g(\textbf{k})d^n(\textbf{k})=Dg_{nD}(k)dk$

dónde$D$es la degeneración de los estados y$n$es la dimensión de la estructura considerada.

De la relación,$g(E)$($D(\epsilon)$en la pregunta) se puede definir como:

$g(E) = \frac{Dg_{nD}(k)}{\frac{dE}{dk}}$

Tome su primera pregunta como un ejemplo,$D=1$como no hay degeneración para el gas ideal, y$n=2$ya que es bidimensional. Por eso:

$g(\textbf{k})d^2\textbf{k} = (\frac{L}{2\pi})^22\pi k dk = g_{2D}(k)dk$

$\frac{dE}{dk}=\frac{\hbar^2k}{m}$

Y por lo tanto

$g(E) = \frac{(\frac{L}{2\pi})^22\pi k}{\frac{\hbar^2k}{m}}$

como se desee.