¿Cuál es la diferencia entre la medida general y la medida proyectiva?

Nota: Hay un breve resumen en la parte inferior.

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En realidad, esto también se describe en Nielsen & Chuang: no aprende sobre medidas generales, porque son completamente equivalentes a medidas proyectivas + evolución temporal unitaria + sistemas auxiliares, todo lo cual se describe en su formalismo QM habitual.

El postulado de la medida

Vamos a empezar desde el principio. Formulemos primero el postulado habitual de la mecánica cuántica, tal como lo conoces:

Postulado de la medida (primer curso):

Las medidas se describen mediante medidas de valor de proyección definidas por la medida espectral de un observable (operador autoadjunto). La medida posterior establece la proyección sobre el subespacio de la medida.

Ahora, además de esto, tenemos un montón de otros postulados, en particular, tenemos el postulado de que la evolución cuántica se rige por la ecuación de Schrödinger, por lo que la evolución del tiempo es una evolución unitaria. Todo eso está muy bien, pero cuando vas a tu laboratorio, descubres que eso no es lo que sucede.

Como se señala en Nielsen & Chuang, parece que, a veces, el estado cuántico se destruye después de las mediciones (la medición no es una "medición sin demolición"), por lo que el estado posterior a la medición no parece estar bien descrito por una proyección sobre este espacio propio. Pero también descubrirás que tu evolución no está de acuerdo con un hamiltoniano y no es unitaria. La energía puede entrar o salir del sistema, dependiendo de lo que haga.

¿Porqué es eso? El problema clave a tener en cuenta es que todos los postulados en su primer curso se refieren a lo que llamamos un "sistema cerrado". Ninguno de ellos establece realmente este requisito, pero todos lo necesitan. Solo en un sistema cerrado se conserva la energía (al igual que en la mecánica clásica), por lo que podemos esperar que la evolución del tiempo sea unitaria. Del mismo modo, solo en un sistema cerrado podemos esperar que las medidas siempre se describan mediante medidas proyectivas.

Evolución temporal de los sistemas cuánticos abiertos

Entonces, ¿qué pasa con los sistemas cuánticos abiertos , es decir, sistemas donde además de nuestro sistema$S$con un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_S$, tenemos un ambiente descontrolado$E$(como en el laboratorio)? Consideremos la evolución del tiempo como un caso de entrenamiento, porque es mucho más fácil de entender desde la intuición clásica; por cierto, ¡tenemos el mismo problema en la mecánica clásica!

En un sistema abierto, siempre que sepamos qué está haciendo el entorno, podemos asignar un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_E$, calcule el hamiltoniano en el sistema combinado$\mathcal{H}_S\otimes \mathcal{H}_E$, hacer evolución temporal y trazar el entorno (la traza parcial es el equivalente a olvidar el entorno y considerar sólo el sistema$S$). En otras palabras, habiendo preparado un estado$\rho_S$del sistema y suponiendo que no está correlacionado con un estado del entorno$\rho_E$(esto puede ser debatido), el estado evolucionado en el tiempo$\rho_S$es dado por

$$T(\rho)= \operatorname{tr}_E(U(\rho_S\otimes \rho_E)U^*)$$

donde$\operatorname{tr}_E$es la traza parcial. Pero esto es muy engorroso. No siempre sabemos lo que está haciendo el medio ambiente. Entonces, en lugar de decir que el sistema cuántico abierto es parte de un sistema cerrado más grande que experimenta una evolución temporal unitaria$U$, podemos especificar directamente la evolución temporal especificando$T$. Después,$T$no será un tiempo-evolución unitario, sino un mapa completamente positivo . En la mecánica clásica, haces lo mismo: en lugar de considerar el Lagrangiano/Hamiltoniano de todo el sistema, que quizás no conozcas, también puedes tratar de considerar solo una parte de ese sistema y describirlo mediante una ecuación maestra (esto es rutinariamente hecho en mecánica estadística). Lo mismo se puede hacer en mecánica cuántica, es decir, mediante la ecuación maestra cuántica .

Entonces lo que quiero argumentar es lo siguiente:

• Usar la evolución temporal unitaria o mapas completamente positivos es, en última instancia, lo mismo (matemáticamente).
• En el laboratorio, siempre habrá ruido del entorno, por lo que su sistema nunca se cerrará.
• Las evoluciones de tiempo unitarias son torpes, porque necesitan que especifique el entorno por completo, lo que puede ser difícil o casi imposible de hacer, por lo que es mucho mejor trabajar solo con el sistema abierto.
• La definición de un mapa completamente positivo te permite hacer eso. Por lo tanto, es un postulado "mejor" en un sentido físico, porque elimina problemas clave al aplicar el modelo a su laboratorio.

Mediciones en Sistemas Cuánticos Abiertos

Esencialmente, ahora tenemos que hacer exactamente lo mismo para las medidas que hicimos para la evolución del tiempo unitario. ¿Cómo se ven las mediciones si las restringe a un subsistema?

_{[Un pequeño aparte: agreguemos otra complicación: las mediciones no son realmente instantáneas, algunas de ellas toman tiempo. Por ejemplo, suponga que tiene un átomo con tres estados con diferentes energías, uno muy excitado$E_3$y dos estados menos excitados (uno puede ser el estado fundamental, llamémoslos$E_1$y$E_2$). Entonces sabe que su sistema estará en cualquiera de los últimos estados. Al medir cuál de estos, puede hacer brillar un láser con una de las dos energías de transición al estado excitado, digamos que la energía del láser es$E_3-E_1$. Si obtiene emisión inducida, su sistema estaba en estado$E_1$, si no lo hace, tiene que estar en$E_2$. Por supuesto, esto lleva tiempo, por lo que el sistema evolucionará (y no será una evolución libre, porque el láser está haciendo algo), por lo que una medición simple no es solo una medición proyectiva, pero casi nunca podemos separarla por completo de algún tiempo de evolución. A menudo, esto no es un problema, a veces podría serlo.]}

¿Qué pasa si hacemos esto? ¿Cómo se ve la medición en los subsistemas? Bueno, resulta que así como los mapas completamente positivos son las restricciones de la evolución temporal unitaria, los POVM son las restricciones de las mediciones.

También puede ver esto en el teorema de dilatación de Naimark : este teorema básicamente nos dice que cada POVM en última instancia es una medida proyectiva si tenemos en cuenta algún entorno. Entonces, en este sentido, el enfoque POVM y las medidas proyectivas habituales son matemáticamente equivalentes, si uno siempre tiene en cuenta el entorno + tal vez alguna evolución unitaria adicional. Sin embargo, tenemos lo mismo que arriba:

El formalismo de los POVM es más adecuado para trabajar, porque no requiere que conozcamos realmente o incluso que pensemos en el entorno. Podemos obtener nuestros operadores de medida del experimento y no tenemos que preocuparnos de que sean proyecciones o no (en este último caso, el sistema seguramente no está cerrado)

Entonces, el formalismo POVM no nos brinda nada nuevo formal y matemáticamente, pero es una mejor manera de pensar en los sistemas cuánticos reales, que generalmente no son sistemas cerrados.

Medidas generales y un nuevo postulado

Ahora tenemos POVM. Podríamos reemplazar nuestro postulado por el postulado POVM, que cubriría muy bien los resultados de los experimentos. Entonces, ¿por qué no lo hacemos? ¿Por qué no lo hacen Nielsen & Chuang?

Porque en realidad hemos perdido algo: el POVM en realidad solo se introdujo para calcular las probabilidades de resultado, pero si comenzamos con un POVM, no está claro cómo obtenemos un estado posterior a la medición. Muy a menudo, no nos importa, pero a veces sí, por lo que deberíamos volver a pensar en esto (por ejemplo, cuando consideramos "la forma óptima de distinguir un conjunto de estados cuánticos", por el momento no nos importa el estado posterior a la medición, por lo que los POVM son todo lo que necesitamos).

Este "problema" del estado posterior a la medición se puede abordar de varias maneras, una forma es tomar un POVM con operadores de efecto$E_i$, especifique una raíz cuadrada$M_i^*M=E$y definir una medida general (que, además de que para toda medida generalizada$\{M_m\}_m$,$E_m:=M^*M$define un POVM le dice que el formalismo de los POVM y las medidas generales es matemáticamente equivalente ). Ahora, las raíces cuadradas no son únicas, por lo que para hablar sobre el estado posterior a la medición, deberá consultar los experimentos (o especificar el entorno y definir la medición allí, lo que le proporcionará una medición proyectiva única en el cerrado). sistema).

_{[Si desea otra forma de pensar sobre esto, puede elegir otro formalismo, instrumentos cuánticos que esencialmente hacen lo mismo].}

Entonces, al final, reemplazamos nuestro antiguo postulado (sistema cerrado) por el postulado general (sistema abierto):

Postulado de medida (Nielsen&Chuang):

Las medidas se describen mediante una colección de operadores de medida.$\{M\}_m$que no son necesariamente proyecciones pero cumplen$\sum_m M^*_mM_m=\mathbf{1}$. El estado posterior a la medición tras la medición de$m$es el estado después de la aplicación de$M_m$.

Por lo que he argumentado anteriormente, no debería sorprender que los dos postulados sean matemáticamente equivalentes. Más precisamente, si aumentamos los POVM/medidas generales mediante la evolución del tiempo unitario y la introducción de sistemas ambientales, cualquier medida de este tipo debería provenir realmente de una medida proyectiva. Esta fue mi publicación original:

Bosquejo de Prueba de la Equivalencia de los dos postulados

Esto se describe en las páginas 94 a 95 de Nielsen & Chuang:

Dejar$\{M\}_m$ser una "medida general" con$m=1,\ldots,n$en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$. Definir$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$(es decir$U$es un operador acotado en el sistema compuesto) mediante la definición:

$$U|\psi\rangle|0\rangle= \sum_{m=1}^n (M_m|\psi\rangle)|m\rangle$$

donde$|m\rangle$es la base ortonormal estándar de$\mathbb{C}^n$. Entonces puedes demostrar que$U$se puede extender a una operación unitaria$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$.

Ahora defines la medida proyectiva$P$con proyecciones

$$P_m:=\mathbf{1}_{\mathcal{H}}\otimes |m\rangle\langle m|$$

y lo que puedes demostrar es que primero actuando$U$y luego midiendo la medida proyectiva$P$y rastrear el sistema$\mathbb{C}^n$("olvidarse" del sistema) es equivalente a realizar la medición generalizada$M_m$. En particular:

$$\frac{P_m U|\psi\rangle |0\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\langle 0|U^*P_mU|\psi\rangle|0\rangle}}= \frac{(M_m|\psi\rangle)|m\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_m^*M_m|\psi\rangle}}$$

y las probabilidades también se suman. Entonces, las medidas generales no agregan nada nuevo.

Acerca de los sistemas cerrados (cuánticos):

Por supuesto, hemos construido el entorno. ¿Quién nos dice que este es el entorno físico "real" o que la medición en el sistema cerrado real es en realidad también proyectiva? Nadie, en realidad. Esta es otra suposición que he estado haciendo implícitamente. Sin embargo, creo que este sistema tiene otro problema más profundo: desde el punto de vista experimental/operacional, ¿qué es realmente un sistema cuántico cerrado? A menos que (tal vez) consideremos todo el universo, nunca podremos trabajar con un sistema completamente cerrado, y no podemos considerar todo el universo. Creo que en realidad hay argumentos (nivel superior/fundamentos cuánticos) que nos dicen que los postulados son completamente equivalentes si existe un sistema cuántico cerrado, pero esto es filosófico.

Pero esto significa que agregamos algo "nuevo": nos deshicimos de la necesidad de sistemas cerrados (si también reemplazamos todos los demás axiomas).

Lecciones aprendidas: (tl;dr)

Entonces, ¿cuál es la esencia? He argumentado que las mediciones generalizadas no son nada nuevo, ni física ni matemáticamente, si conocemos la diferencia de los sistemas cuánticos abiertos y cerrados. Por lo tanto, no agregan nada que no haya obtenido del antiguo formalismo, por lo que su curso de Mecánica Cuántica 101 no está mal (salvo problemas con la definición de "sistemas cuánticos cerrados").

Sin embargo, los POVM (o quizás las medidas generales) son la forma "correcta" de pensar en las medidas. El paradigma de los sistemas cuánticos abiertos, que es muy importante para los experimentos del mundo real, está inherentemente inscrito en las POVM y también nos dice por qué, a veces, las mediciones parecen no ser repetibles en el laboratorio. Entonces, los POVM no son una construcción teórica que flota en el espacio de la filosofía (sistemas cuánticos cerrados), sino descripciones más operativas de las mediciones. Además, es mejor trabajar con ellos cuando se describen situaciones del mundo real.

Como nota final: las medidas generales no se consideran mucho en la literatura. Peter Shor fue tan amable de señalar un ejemplo (antiguo) de su uso con este periódico de Peres, Wooters (¡muro de pago!). Sin embargo, generalmente encuentro que las personas trabajan con POVM en lugar de mediciones generales.