¿Cuál es la diferencia entre espacio y tiempo?

Supongamos que te mueves una pequeña distancia$\vec{dr}$= ($dx$,$dy$,$dz$) y te tomas un tiempo$dt$para hacerlo. Antes de la relatividad especial se podrían decir tres cosas. En primer lugar, la distancia recorrida viene dada por:

$$dr^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$

(es decir, simplemente el teorema de Pitágoras) y en segundo lugar el tiempo$dt$no estaba relacionado con la distancia, es decir, podía moverse a cualquier velocidad. Por último las cantidades$dr$y$dt$son invariantes, es decir, todos los observadores estarán de acuerdo en que tienen el mismo valor.

La relatividad especial difiere al decir que$dr$y$dt$ya no son invariantes si los tomas por separado. En cambio, lo único invariable es el tiempo propio,$d\tau$, definido por:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

En la relatividad especial todos los observadores estarán de acuerdo en que$d\tau$tiene el mismo valor, pero no estarán de acuerdo en los valores de$dt$,$dx$,$dy$y$dz$.

Por eso tenemos que hablar de espacio-tiempo en lugar de espacio y tiempo. La única forma de construir leyes que se apliquen a todos es combinar el espacio y el tiempo en una sola ecuación.

Tu dices:

Me cuesta entender cómo cambiar el espacio significa cambiar el tiempo

Bueno, supongamos que tratamos de hacer esto. Cambiemos de espacio moviendo una distancia ($dx$,$dy$,$dz$) pero no cambiar el tiempo, es decir$dt$= 0. Si usamos la ecuación anterior para calcular el tiempo adecuado,$d\tau$, obtenemos:

$$d\tau^2 = \frac{0 - dx^2 - dy^2 - dz^2}{c^2}$$

¿Ves el problema?$d\tau^2$va a ser negativo entonces$d\tau$es imaginario y no tiene significado físico. Eso significa que no podemos movernos en tiempo cero. Bueno, ¿cuál es el tiempo más pequeño?$dt$que necesitamos tomar para movernos ($dx$,$dy$,$dz$)? El valor más pequeño de$dt$que da un valor no negativo de$d\tau^2$es cuando$d\tau^2$= 0 entonces:

$$c^2d\tau^2 = 0 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

o:

$$dt^2 = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}$$

Si nos hemos movido una distancia$dr = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$en un tiempo$dt$, podemos encontrar la velocidad a la que nos hemos movido en la división$dr$por$dt$, y si hacemos esto encontramos:

$$v^2 = \frac{dr^2}{dt^2} = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{\frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2}} = c^2$$

Entonces encontramos que la velocidad máxima posible es$v = c$, o en otras palabras, no podemos movernos más rápido que la velocidad de la luz. ¡Y todo a partir de esa única ecuación que combina las coordenadas de espacio y tiempo en el tiempo adecuado!

La diferencia entre el espacio y el tiempo tiene sus raíces en la causalidad, es decir, el hecho experimental de que el futuro puede ser influenciado.

Más precisamente, en física no relativista: las cosas en diferentes posiciones espaciales al mismo tiempo pueden manipularse de forma independiente sin influirse entre sí. Las cosas en diferentes momentos en la misma posición generalmente no pueden, ya que el evento anterior influye en el posterior.

En la física relativista, esto todavía se mantiene en cualquier marco de referencia de un observador.