¿Cuál es la conexión exacta entre coeficientes binomiales y factoriales?

Aquí está el enfoque combinatorio:

Supongamos que elegimos$k$fuera de$n$elementos donde el orden sí importa. tendríamos$n$posibilidades para la primera elección,$n-1$posibilidades para el siguiente y así sucesivamente. Entonces tenemos

$$n\cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$ posibilidades, pero esto es sólo cuando el orden importa. Cuando el orden no importa, tendríamos que dividir por el número de formas en que podemos organizar el$k$objetos, que por supuesto es$k!$. Con esto conseguimos que hay $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ maneras de elegir$k$elementos de un conjunto de$n$elementos (cuando el orden no importa).

La conexión proviene de la otra definición de un coeficiente binomial:

$\dbinom{n}{k}$es el coeficiente de$x^k$en la expansión (por distributividad) de

$$(1+x)^n=\underbrace{(1+x)(1+x)\dotsm(1+x)}_{n\text{ factors}}$$

En efecto, para obtener$x^k$, en cada uno de todos los factores$1+x$, tenemos que elegir$k$veces$x$y$n-k$veces$1$, de todas las formas posibles.

Usando este enfoque, podemos probar, diferenciando$(1+x)^n$y comparando la expansión de la derivada$n(1+x)^{n-1}$y la derivada de la expansión, obtenemos la siguiente fórmula de recurrencia:

$$\binom nk=\frac nk\binom{n-1}{k-1}$$ de donde la fórmula usual para el valor de$\binom nk$en términos de factoriales, se deduce.