¿Cómo se relaciona el resultado de la ausencia de variación en el tiempo de la constante gravitacional GGG con la medición de la ausencia de expansión local?

Si la expansión cosmológica se aplica a la escala del sistema tierra-luna, entonces en un corto período de tiempo$\delta t$la distancia entre la tierra y la luna aumenta de$r$a$r+\delta r$. Entonces la fuerza de gravedad entre los cuerpos cambia a:

$F+\delta F=\frac{GMm}{(r+\delta r)^2}\approx\frac{GMm}{r^2}\left(1+\frac{\delta r}{r}\right)^{-2}\approx\frac{GMm}{r^2}\left(1-\frac{2\delta r}{r}\right)=F\left(1-2\frac{\delta r}{r}\right)$

El mismo cambio en la fuerza gravitacional también podría ocurrir a través de un cambio en$G$:

$F+\delta F=\frac{(G+\delta G)Mm}{r^2}=F\left(1+\frac{\delta G}{G}\right)$

Igualando el$\delta F$términos muestra que el cambio en la fuerza debido al aumento de la distancia es el mismo que el cambio en la fuerza debido a la disminución$G$si

$\frac{\delta G}{G}=-2\frac{\delta r}{r}$

Ahora bien, si nuestro$\delta r$se debe a que la expansión cosmológica es aplicable a esta escala de distancia, entonces para una velocidad de expansión de$v$,$\delta r=v\delta t$y usando la ley de Hubbles$v=H_0 r$dónde$H_0$es la constante de Hubble, que está alrededor$70kms^{-1}Mpc^{-1}$, que queremos convertir a unidades SI ($ms^{-1}{m^-1}=s^{-1}$) que nos da$H_{0}=2.26\times10^{-18}s^{-1}=7.1\times10^{-11}yr^{-1}$

Así que reemplazando eso en nuestra ecuación da$\frac{\delta G}{G}=-2\frac{H_{0}r\delta t}{r}$. Simplificando y girando$\frac{\delta G}{\delta t}$en$\dot{G}$terminamos con

$\frac{\dot{G}}{G}=-2H_{0}$

Esta es una forma simplista de hacerlo, pero creo que la idea básica está en el camino correcto. Un aumento cosmológicamente causado en la distancia entre la tierra y la luna daría una reducción en la fuerza mutua entre ellos al igual que una disminución en$G$lo harían si se mantuvieran a la misma distancia. Reorganizar las matemáticas como se muestra arriba te da una proporcionalidad directa entre$\frac{\dot{G}}{G}$y$H_0$, aunque la constante de proporcionalidad para la relatividad general probablemente no sea exactamente lo que se me ocurrió aquí (y otras teorías de la gravedad pueden dar valores diferentes).

El artículo que mencionas pone un límite experimental a esa constante de proporcionalidad de (aproximadamente)$0.006 \pm 0.012$(usando el valor$H_0$arriba), a diferencia del valor 'predicho' de$-2$

La razón para expresar el resultado en términos de$\frac{\dot{G}}{G}$idea de que eso se deriva directamente de lo que miden independientemente de cualquier teoría. Es decir, es lo más lejos que puede llegar para poner límites numéricos a la expansión sin comprometerse con una teoría o valor particular de$H_0$

(Creo que el comentario de John Rennie es correcto de que están usando '$AU$escala' para indicar que están hablando de efectos en el orden del sistema solar, en lugar de distancias galácticas o cosmológicas).

Excelente animación de la luna cambiando a lo largo del mes Por cierto.

Su mini-pregunta se aborda en esta revisión : la fuerza gravitatoria sobre la luna debido a la tierra es solo alrededor del 40% de la fuerza gravitacional sobre la luna debido al sol, por lo que la gravedad en escalas de longitud comparables a la distancia sol-tierra juega el papel parte del león del papel en la determinación de la evolución de la posición de la luna. El modelo parece incluir también perturbaciones en el sistema tierra-luna de Júpiter, Venus y quizás otros cuerpos; No he seguido las referencias.