¿Es la longitud de Planck el límite por debajo del cual nuestra física no tiene sentido? Y si es así, ¿por qué es eso cierto?

El modelo estándar y la relatividad general tienen éxito en los límites apropiados, pero no se pueden combinar de manera consistente para las escalas a continuación.$\sim\ell_P:=\sqrt{\dfrac{G\hbar}{c^3}}$por varias razones. (Por$\sim$, me refiero a "dar o tomar una constante multiplicativa que no viene al caso aquí y puede ser difícil de calcular".) Por ejemplo, ¿qué sucede si tratas de sondear escalas de longitud con un fotón? ¿Cómo se comparará su longitud de onda con su radio de Schwarzschild?

Cuando pregunta sobre el significado físico o la importancia de escalas tan cortas, ahí es donde se vuelve polémico. Intentaré resumir la variedad de puntos de vista sobre esto, pero probablemente eluda o simplifique algunos detalles:

• La teoría de cuerdas dice que el espacio-tiempo es infinitamente divisible, pero las partículas tienen un tamaño$\sim\ell_P$. Por lo tanto, tienen hojas de mundo en lugar de líneas de mundo, lo que difumina los vértices del diagrama de Feynman de esta manera . Esta mancha elimina los infinitos problemáticos del tratamiento de la gravedad.
• La gravedad cuántica de bucles, en cierto sentido, dice lo contrario: no se supone que las partículas tengan tamaño, pero el espacio-tiempo está cuantizado. Las partículas viven en distintos puntos de red. El área y el volumen de un objeto tienen operadores en el espacio de Hilbert, y estos operadores tienen valores propios discretos$\sim\ell_P^{2\,\mathrm{or}\,3}$.
• Ha habido intentos de combinar ST con LQG (motivados por sus respectivos pros y contras y la obtención de resultados similares a partir de preceptos muy diferentes, por ejemplo, correcciones logarítmicas a la entropía de Hawking-Bekenstein de los agujeros negros), pero estos están en su infancia. Por ahora, basta con decir que tal unión introduciría ambas desviaciones de la idea de "partículas puntuales en un espacio-tiempo infinitamente divisible" que causa los problemas de SM+GR.
• Otra propuesta es que$[\hat{x}_\mu,\,\hat{x}_\nu]=i\ell_P^2 \theta_{\mu\nu}$es un tensor antisimétrico que no se desvanece. Esto está lejos de convertirse en una teoría completa de la gravedad cuántica, pero es una idea que se ha explorado en tales intentos. Como dice la mecánica cuántica$[\hat{x}_j,\,\hat{p}_k]=i\hbar\delta_{jk}$sin que los valores propios se vuelvan discretos, el uso anterior de geometría no conmutativa requiere solo que$\sigma_{x_\mu}\sigma_{x_\nu}\ge\frac{1}{2}\ell_P^2|\theta_{\mu\nu}|$, no que los valores propios de$x_\mu$no puede diferir por fracciones arbitrariamente pequeñas de$\ell_P$.

El último punto es, de hecho, el correcto. La longitud de Planck es la escala de longitud natural construida a partir de todas las constantes fundamentales. La participación de las constantes de Newton y Planck junto con la velocidad de la luz aseguran la existencia de la gravedad cuántica en esa escala de longitud. Sin embargo, su último argumento no es correcto. Esto se debe a que la longitud de Planck en sí misma no es un límite estricto después del cual la gravedad cuántica toma el control. La forma correcta de decirlo es que los efectos gravitatorios cuánticos toman el control en una escala de longitud del orden de la longitud de Planck. Esto podría ser 3 veces la longitud de Planck y así sucesivamente o más precisamente$\mathcal{O}(10^{-33})$. En esta escala de longitud, la curvatura será de$\mathcal{O}\left(\frac{1}{l_p^2}\right)$, que será un estado singular y no puede ser explicado por la relatividad general clásica.