¿Cuál es el significado físico de un sistema electrónico que evoluciona adiabáticamente a través de un camino cerrado?

No estoy seguro de poder ayudarte en la parte de los fermiones de Weyl. Pero su pregunta parece tratar más bien de qué es una fase geométrica.

Transporte paralelo y fase geométrica

Tal vez lo más intuitivo que se puede hacer primero es dibujar un paralelo entre la fase geométrica y el transporte paralelo. Como se muestra en la imagen de este artículo de wikipedia , considere una esfera$S$con un vector$\textbf{e}$que yace tangencialmente a su superficie. En el habitual sistema de coordenadas esféricas$\{\textbf{u}_r,\textbf{u}_\theta,\textbf{u}_\phi\}$Digamos que inicialmente:

$$\textbf{e}=-\textbf{u}_\theta$$ que corresponden a una flecha azul en la imagen.

Ahora digamos que realizamos un transporte paralelo de este vector a lo largo de un camino$C$que se encuentra en el contorno de un octavo de la esfera (como se muestra en la imagen), que es un camino cerrado . Aquí paralelo significa que el vector conserva su dirección a lo largo de la trayectoria del movimiento.

Lo que ve es que las direcciones del vector antes y después del transporte son diferentes (compare las flechas azul y roja). Más precisamente, el vector se ha transformado siguiendo:

$$\textbf{e}=-\textbf{u}_\theta\;\rightarrow\;\textbf{e}'=\textbf{u}_\phi\quad\text{i.e.}\quad\textbf{e}'=e^{-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}}\textbf{e}$$ que corresponden a $-\pi/2$rotación. La razón por la que es $\pi/2$(olvidémonos del signe) es que el contorno $C$encarna un $4\pi/8=\pi/2$ ángulo sólido . Este $\pi/2$es lo que llamamos fase geométrica ya que solo depende de la elección del camino $C$y no en el tiempo necesario para realizar el transporte a lo largo $C$. Más precisamente, esta fase refleja la topología de $S$, es decir aquí su curvatura.

Mecánica cuántica y fase Berry

Ahora hay un análogo cuántico de tal fase que se llama la fase Berry . El principio es básicamente el mismo pero aquí en lugar de un vector$\textbf{e}$tienes un estado propio cuántico inicial$\vert\phi_\ell\rangle$de un hamiltoniano$\mathcal{H}(\mathbf{\Gamma}(t))$.

Aquí$\mathbf{\Gamma}(t)$son algunos parámetros de acoplamiento lentos dependientes del tiempo. el vector$\mathbf{\Gamma}$vive en un espacio de parámetros$\mathcal{M}$que jugará el papel de la esfera$S$. La razón por la cual$\mathbf{\Gamma}$se dice que es lento es que garantiza la adiabaticidad de la evolución temporal del estado cuántico, es decir, que:

$$\forall t>0,\,\vert\Psi(t)\rangle\sim\vert\phi_\ell(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Tal condición es análoga a cambiar la dirección del vector $\textbf{e}$constante cuando se realiza el transporte paralelo.

Si$\mathbf{\Gamma}$es un$T$-función periódica del tiempo, esto significa que uno puede hacer algún camino cerrado$C: \mathbf{\Gamma}(0)\rightarrow\mathbf{\Gamma}(T)$en el espacio de parámetros$\mathcal{M}$.

Al hacerlo, se puede imprimir una fase Berry$\varphi_B$en el estado cuántico:

$$\forall t>0,\,\vert\Psi(t)\rangle\sim e^{\mathrm{i}\varphi_B}\vert\phi_\ell(\mathbf{\Gamma}(0))\rangle$$ con la interesante característica de que $\varphi_B$no depende de $T$. Para más detalles sobre los cálculos puedes consultar esta pregunta del PSE .