¿Cuál es el significado específico de "frecuencia de Fourier" (en oposición a simplemente "frecuencia")?

El término frecuencia de Fourier generalmente denota la frecuencia de uno de varios componentes de una función que puede o no ser periódica. Tomemos, por ejemplo, un pulso gaussiano, que se puede descomponer como una "suma" (integral) de diferentes ondas periódicas,$\cos(\omega t)$, con pesos que varían con$\omega$:

$$e^{-{t^2}/{2T^2}}=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-T^2\omega^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\cos(\omega t)d\omega.$$ En este contexto es muy apropiado llamar $\omega$una frecuencia de Fourier ya que no es la frecuencia de la función considerada, sino sólo de una parte de ella en una determinada descomposición. Las técnicas generales para hacer esto son transformadas y series de Fourier , según el tipo de función con la que esté tratando.

Una serie de Fourier de una función puede verse bastante diferente a la función misma. La serie de Fourier es una función periódica sobre una integral finita y una transformada de Fourier es una función periódica sobre una integral infinita.

Veamos una función periódica sobre la integral finita por un momento (es decir, un ejemplo de serie de Fourier). Dejar$f(x) = \cos x$Ya sabemos mucho sobre$\cos x$entonces es un buen ejemplo, ya que sabemos que tiene un período fundamental de$2 \pi$y es parejo.

¿Cómo se verá esta función cuando la expandamos sobre el rango finito?$-\pi \le x \le \pi$. ¿Cuál será su período fundamental?

Ya no vemos una función que reconocemos como$\cos x$porque en el análisis de Fourier solo nos importa lo que está en el rango.

Consulte el texto estándar de Peter J. Brockwell y Richard A. Davis "Time Series: Theory and Methods" 2 ed, p.331, donde los autores definen

$$\omega_j=2\pi j/n\in(-\pi,\pi]$$

(múltiplos enteros de la frecuencia fundamental $2\pi /n$) como frecuencias de Fourier . Luego en la p.335, dicen

si$\omega$no es una frecuencia de Fourier, el análisis es un poco más complicado...

Esto todavía se refiere a frecuencias dentro del intervalo.$(-\pi,\pi]$, pero los que no son múltiplos enteros , por ejemplo "$\omega=\pi$" (también p.335).

En muchos casos, las personas parecen decir "frecuencia de Fourier" cuando quieren decir "frecuencia". Sin embargo, cuando se trata de datos definidos solo en puntos de tiempo discretos, la frase "frecuencia de Fourier" tiene un significado importante.

Considere una secuencia de$N$valores$\{ x_n \}$dónde$n \in \{1, 2, \ldots N \}$. Esta situación surge todo el tiempo si tenemos una señal física.$x(t)$que probamos a veces$t_n = n \Delta t$, en cuyo caso por supuesto$x_n = x(t=n\Delta t)$. Podemos analizar el contenido de frecuencia de esta señal calculando su transformada discreta de Fourier (DFT)$^{a}$

$$X_k \equiv \sum_{n=1}^N x_n \exp \left( -i 2 \pi n k / N \right) \, .$$

Esta suma expresa la secuencia$\{ x_n \}$como una suma de señales sinusoidales$\exp(i 2 \pi n k / N)$. Las frecuencias de estas sinusoides (es decir, el número de radianes de oscilación por paso de tiempo) son

$$\omega_k \equiv 2 \pi k / N \, .$$

Estas frecuencias a veces se denominan "frecuencias de Fourier".

Como se señaló en las respuestas de Emilio y Magpie, puede ser importante distinguir la noción de un componente de frecuencia de una señal de la verdadera frecuencia subyacente de esa señal. Sin embargo, en mi experiencia como físico experimental que realiza una buena cantidad de procesamiento de señales, la frase "frecuencia de Fourier" no se usa de esa manera. De hecho, el uso citado en la pregunta original es bastante extraño para mis oídos/ojos, y parece incómodo ya que la palabra "frecuencia" funcionaría bien. Solo he visto y usado la "frecuencia de Fourier" de la manera descrita aquí y en la respuesta de Oleg .

$[a]$: Mucha gente se refiere a la transformada discreta de Fourier como "FFT". De hecho, FFT significa "transformada rápida de Fourier" , que es un algoritmo particular para calcular la transformada discreta de Fourier.