¿Cuál es el significado de un estado en QFT?

Supongo que esto puede ser más una pregunta matemática que física, pero se trata de interpretaciones físicas, así que lo publico aquí.

En la Mecánica Cuántica clásica, podemos definir un estado | ψ ⟩ para representar alguna amplitud de probabilidad sobre todo el espacio. Específicamente, corresponde a una función integrable al cuadrado ψ : R 3 → C . Este estado puede variar en el tiempo, o se puede considerar que el estado permanece constante y los operadores en el espacio de Hilbert varían en el tiempo. (Schrödinger contra Heisenberg)

Para hacer un campo escalar real clásico, un estado | Ψ ⟩ representa una amplitud de probabilidad funcional sobre las posibles configuraciones de campo: en concreto, corresponde a una funcional Ψ : R R 3 → C . Podríamos volver a tomar la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg aquí. (¿Es esto correcto hasta ahora?)

La mayoría de las introducciones de QFT saltan directamente a los campos sobre el espacio de Minkowski METRO 4 . Aquí es donde me confundo. Parece que nuestros estados de campo aún corresponden a campos sobre coordenadas espaciales en R 3 que varían en el tiempo. En METRO 4 , esto estaría diciendo que, dadas las coordenadas ( t , X ) , cada porción de tiempo constante t = t 0 tiene un estado de campo asociado. Sin embargo, me parece que elegir los sectores y configurar los espacios de Hilbert en cada sector para obtener los estados rompe la covarianza de Lorentz. La alternativa para mí es tratar un estado como si fuera funcional. Ψ : R METRO 4 → C , que es una amplitud de probabilidad sobre posibles configuraciones de campo en todo el METRO 4 . Sin embargo, esto no se ajusta a las matemáticas por lo que puedo decir.

¿Qué estoy haciendo mal? ¿O estoy fuera de lugar? ¿Y qué libros/referencias puedo encontrar para comprender mejor los fundamentos formales/matemáticos de los estados en QFT?

Pensar en R 3 en su sistema mecánico cuántico no como un punto en el espacio sino como las coordenadas generalizadas para sus grados de libertad. Luego, considera que un campo escalar proporciona un grado de libertad por punto espacial. Eso podría ayudarlo a comprender mejor QFT.
FrancisFlute: Es posible que escriba esto como una respuesta completa más adelante, pero le recomiendo encarecidamente que aprenda sobre la "segunda cuantización", ya que es el elemento crucial para responder su pregunta de verdad. Vea, por ejemplo, mi respuesta a esta pregunta: physics.stackexchange.com/questions/122570/… . La teoría de campos difiere de la introducción a la mecánica cuántica porque en QFT tienes muchas partículas . Esto lo obliga a reinterpretar seriamente lo que significan los vectores de estado cuánticos, y descubre que las funciones de onda son mucho menos útiles.
Por cierto, no necesariamente tenemos que hablar de teorías relativistas. QFT también es perfectamente aplicable en contextos no relativistas, por ejemplo: cond-mat.
Me siento obligado a vincular este proyecto colaborativo: https://github.com/tobiasosborne/What-is-a-quantum-field-state- ¡Debería ser una introducción a la misma pregunta desde el punto de vista de la información cuántica!

Respuestas (4)

Como señaló correctamente Daniel Sank en la sección de comentarios, la clave para comprender el espacio de estado en la teoría cuántica de campos es darse cuenta de que contiene información sobre las excitaciones de las funciones con valor de operador (campos cuánticos) del espacio-tiempo. Este último consiste en un tiempo y tres coordenadas espaciales (al menos en el contexto del modelo estándar). Tenga en cuenta que, a diferencia de la mecánica cuántica no relativista, ya no hay un operador de posición, por lo tanto, el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad, como se puede entender por el hecho de que buscamos tratar las teorías invariantes de Poincaré. Para lograr esto, también existe la posibilidad de promover el tiempo a un operador, como se hace en la teoría de cuerdas, pero esta es una historia diferente.

Como se mencionó anteriormente, los estados en la teoría cuántica de campos codifican información sobre las excitaciones de los campos cuánticos. Al cuantificar estos campos, se introducen operadores de escalera que actúan sobre el estado fundamental en cada punto del espacio-tiempo. El estado fundamental generalmente se denota como | 0 ⟩ y corresponde al vacío, mientras que los estados excitados representan partículas. En el caso de una teoría que no interactúa, el espacio de Hilbert es simplemente un espacio de Fock, mientras que en el caso de interacción, la construcción del espacio de estado es un problema altamente no trivial (para más detalles, consulte las respuestas a esta pregunta de Arnold Neumaier y yo). El problema de elegir rebanadas en el espacio-tiempo y por lo tanto romper la invariancia de Lorentz no se plantea, el formalismo se puede escribir de forma completamente covariante.

Las amplitudes que uno observa están especificadas por el contenido de partículas de los estados de entrada y salida. Un ejemplo típico es el del decaimiento de partículas: uno tiene que calcular la amplitud para un estado con una excitación de campo y un estado fuera con varias excitaciones, no necesariamente del mismo campo.

No estoy completamente de acuerdo con Frederic, me parece que cada vez que uno usa el formalismo de cuantificación canónica/espacial de Hilbert de la mecánica cuántica (a diferencia de la integral de trayectoria) uno está rompiendo explícitamente la invariancia de Lorentz, ya que uno necesita especificar un tiempo particular dirección en su múltiple. Los estados/operadores en la imagen de Schroedinger/Heisenberg luego evolucionan en el tiempo utilizando el operador hamiltoniano, que en sí mismo no es una cantidad invariante de Lorentz. Véase la teoría del campo conforme de di Francesco et al., capítulo 6.

En pocas palabras, un estado QFT es una superposición lineal de las posibilidades de función de onda de una partícula, función de onda de dos partículas, función de onda de tres partículas, ad infinitum. Cada una de esas funciones de onda es un mapa de R 3 → C como lo que dijiste.

EDITAR: Verifique la respuesta actualizada de @Alvaro.

Por cierto, la evolución temporal de esa configuración espacial "sigue" una vez que especifica un hamiltoniano.

La combinación lineal sobre el número de partículas se debe a que el número de partículas no es una cantidad fija en QFT (al estilo de la mecánica estadística en el Gran Conjunto Canónico). Consulte el comentario de @DanielSank sobre la segunda cuantificación.

Puede identificar estados con campos, que son mapas del espacio-tiempo de Minkosky al espacio de un operador. Por definición de campos, desea que estos mapas satisfagan algunas propiedades de invariancia bajo una transformación adecuada.

En general, no puede identificar estados con campos. Cualquier operador, incluido un operador de campo, crea un estado. Pero no es el caso que dos operadores diferentes deban crear estados diferentes.

Los estados en QFT no son tan relevantes, porque lo que llama un "estado" no contiene la información física del sistema en QFT. Las cantidades relevantes en QFT son las funciones de correlación, que nos permiten calcular explícitamente las probabilidades de transición entre configuraciones del mismo o diferente número de partículas (este último es el objetivo principal de QFT: un estado mecánico cuántico solo describe la física de un número fijo de partículas). Los estados de QM se denominan "campos" en QFT. Por ejemplo, un campo clásico es el campo de Klein-Gordon. Sin embargo, si cuantifica canónicamente el campo de Klein-Gordon (a través de un formalismo que se basa en las relaciones de conmutación canónicas), promueve el campo escalar clásico ϕ ( X , t ) a un operador ϕ ^ actuando sobre un espacio de Fock, que es la suma directa de espacios de Hilbert (anti)simetrizados de número fijo de partículas,

F = ⨁ i ∞ S ± ( H 1 ⊗ H 2 ⊗ ⋯ ⊗ H i )
así que en la cuantización canónica seguimos usando estados mecánicos cuánticos, aunque estas no son las cantidades fundamentales.

QFT es una teoría cuántica. Tiene estados al igual que cualquier teoría cuántica tiene estados. ¿Por qué dices que los estados no tienen sentido en QFT?
Sí, por supuesto que tiene estados. Quiero decir que la palabra "estado" en QM se refiere a un objeto que contiene toda la información física de la teoría. En QFT, los objetos que estamos calculando son valores esperados de vacío de productos de campos ordenados en el tiempo, que contienen la información que podemos medir experimentalmente.
Claro, pero esos VEV son amplitudes entre ciertos estados. Realmente no es diferente de QM.
Sí, he editado la respuesta. ¡Gracias por el comentario!
Esta respuesta está llena de conceptos erróneos. Si bien es cierto que a menudo las personas en física de partículas y materia condensada tienden a preferir las funciones de correlación, esta es una propiedad de los teóricos cuánticos de campos , no de la teoría cuántica de campos. La razón de esta preferencia es que el estado cuántico completo de un QFT interactivo es terriblemente complicado. Sin embargo, cada vez que calcula una amplitud de transición o una función de correlación, está calculando una "parte" del estado cuántico. La declaración "Los estados de QM se llaman "campos" en QFT" es totalmente incorrecta.
¿Cuál es el significado de un estado en QFT?
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