¿Cómo derivar el radio de Schwarzschild? [duplicar]

La geometría del espacio-tiempo se describe mediante una ecuación llamada métrica . Esto es análogo al teorema de Pitágoras pero con algunas diferencias clave.

Comencemos con un plano 2d, donde identificamos las posiciones de los puntos por su$(x, y)$coordenadas Supongamos que te mueves una distancia$dx$luego una distancia$dy$, luego la distancia desde su punto de partida,$ds$, está dada por el teorema de Pitágoras :

Si introduce una tercera dimensión espacial,$z$, entonces el teorema de Pitágoras se generaliza a:

Y si ahora introduces una dimensión de tiempo,$t$, podrías tener la tentación de pensar que la distancia$ds$es dado por:

Pero esto está mal. La relatividad nos dice que la distancia$ds$en realidad está dada por:

Tenga en cuenta que el$dt^2$término recibe un signo menos. También multiplicamos por la velocidad de la luz.$c$, pero eso es solo para convertir el tiempo en una distancia para que la ecuación sea dimensionalmente consistente (las unidades de$ct$son segundos luz, es decir, una distancia). Esta ecuación se llama la métrica de Minkowski , y es la base de la Relatividad Especial. De hecho, toda la Relatividad Especial se describe mediante esta ecuación, es decir, la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y todas las demás cosas raras .

De todos modos, la métrica de Minkowski nos dice la distancia$ds$en el espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo la ecuación es más complicada, y para el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro$ds$es dado por:

Esta es la notoria métrica de Schwarzschild . La ecuación está en coordenadas polares, lo que hace que parezca más complicada, pero si la comparas con la métrica de Minkowski verás que no es tan diferente excepto que la$c^2dt^2$término ahora se multiplica por$1 - 2GM/(c^2r)$, y el término espacial,$dr^2$, se divide por$1 - 2GM/(c^2r)$.

La métrica de Schwarzschild se obtiene resolviendo la ecuación de Einstein para una masa esféricamente simétrica. Los detalles son largos y complicados , así que me temo que tendrá que confiar en que la métrica de Schwarzschild realmente describe la geometría de un agujero negro.

De todos modos, si tomas la distancia$r$ser:

entonces pasa algo raro porque ese factor de$1 - 2GM/(c^2r)$se convierte en:

y la ecuación se convierte en (he omitido el bit angular porque no es relevante para este argumento):

¿Ves el problema? Nuestra ecuación ahora contiene una división por cero por lo que el valor de$ds^2$es indefinido. Esta es una singularidad de coordenadas , y eso es lo que define el horizonte de eventos. Es por eso que la posición del horizonte de eventos, también conocido como el radio de Schwarzschild , viene dada por:

Estás parado en la superficie de un planeta de masa.$M$y radio$R$. con que velocidad$v$necesitas tirar del planeta un objeto de masa$m$que no volverá? La fuerza gravitacional es$F=G\frac{mM}{r^2}$. El trabajo a realizar para mover el objeto en el campo gravitacional del planeta desde la distancia R hasta el infinito es$A = \int{_R}^{+\inf}G\frac{mM}{r^2}dr = \frac{GMm}{R}$. Le das la energía al objeto arrojándolo con cierta velocidad.$v$, por lo que esta energía es proporcionada por la energía cinética de su objeto:$\frac{mv^2}{2}$. Tu obtienes:$G\frac{mM}{R}=\frac{mv^2}{2}$, y finalmente$R=\frac{2GM}{v^2}$. Para una velocidad$v$y la masa del planeta$M$la fórmula te dice que si estás parado a una distancia$x>R$, el objeto volverá. Sabes que la velocidad máxima del objeto está limitada por la velocidad de la luz.$c$, úsalo y obtén el radio de Schwarzschild.