Desplazamiento al azul cerca del horizonte BH de Schwarzschild

Después de haber trabajado durante un tiempo con la geometría de Schwarzschild, me he dado cuenta de algo que no había visto antes y que encontré un poco inquietante. Considere la métrica de Schwarzschild de 4 dimensiones:

$$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1- \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2 ~,$$

y supongamos que dos observadores se mantienen en posiciones espaciales fijas$(R_1, 0, 0)$y$(R_2,0,0)$, con$R_2 > R_1 > 2M$(usando algún sistema no gravitacional, digamos cohetes que queman combustible). Esta es una situación típica para estudiar el corrimiento al rojo gravitacional cuando el observador interno envía señales separadas por$\Delta \tau_1$(medido por él, es decir,$\tau_1$es el momento adecuado a lo largo de su línea de tiempo). El famoso resultado es:

$$\Delta \tau_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \Delta \tau_1 ~~, \hspace{1cm} \nu_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_1}}{1-\frac{2M}{R_2}}} \nu_1 ~,$$

donde pensamos en términos de período de estas señales en la última expresión. Si el observador interior se acerca$R_1 \to 2M$, obtenemos un corrimiento al rojo infinito desde el punto de vista del observador externo. Mi pregunta es la siguiente: ¿Qué sucede si en lugar de la situación anterior el observador externo envía una señal al interno? Obviamente, obtenemos un corrimiento al azul (el análisis es el mismo), y ese corrimiento al azul se vuelve arbitrariamente grande cuando$R_1 \to 2M$, ya que sigue siendo cierto que:

$$\nu_1 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \nu_2 ~,$$

y nos mantenemos$\nu_2$constante ahora. Esto me parece desconcertante por varias razones:

• Parece que las excitaciones de baja energía (por ejemplo, los fotones) enviadas por el observador externo al interno pueden volverse arbitrariamente energéticas cuando las recibe el observador interno. Entonces, en cierto sentido, necesitamos conocer los detalles de la física de alta energía para trabajar en una vecindad del horizonte.
• Al principio pensé que mantener un observador fijo$r$cerca del horizonte sin moverse en el espacio no era físico en algún sentido (tal vez las fuerzas de marea gravitacionales se vuelven tan grandes que no es posible hacer eso). Pero, en principio, para grandes masas el horizonte en$r = 2 M$no es un lugar donde las fuerzas gravitatorias se vuelvan tan fuertes (en una aproximación newtoniana,$F \sim M / r^2 \sim 1/M$, algo que creo recordar haber visto en alguna parte justificado más rigurosamente en el marco de GR al señalar que los componentes del tensor de Riemann en un marco inercial local no divergen en$r = 2M$).

Pensé que tal vez la definición anterior de frecuencia es complicada, así que también traté de calcular la energía de un fotón con cuatro impulsos.$k$con la fórmula$E_{obs} = - k \cdot U_{obs}$,$U_{obs}$siendo la velocidad de cuatro del observador. Esto también diverge para un fotón enviado con una energía finita desde el infinito (en realidad, obtienes la misma expresión que antes), así que nada nuevo. ¿Es este un problema real o estoy sobreestimando las consecuencias de este infinito desplazamiento hacia el azul? [En aras de la exhaustividad, mi miedo a un desplazamiento hacia el azul infinito proviene de algunas discusiones que he leído sobre la estabilidad de los horizontes. En particular, al considerar agujeros negros giratorios o cargados, uno tiene un horizonte interno que estropea algunas características agradables que uno espera que tengan las soluciones físicas, como la previsibilidad. Encontré convincente en ese caso el hecho de que las perturbaciones enviadas desde fuera del agujero negro se desplazan arbitrariamente hacia el azul cuando alcanzan el horizonte interior, entonces tal vez este horizonte es inestable y solo aparece como consecuencia del alto grado de simetría de nuestras soluciones exactas, por lo que no violan una fuerte censura cósmica]. ¿Alguna idea o pensamiento sobre este tema?