¿Cuál es el punto de los campos complejos en la teoría clásica de campos?

Dos campos escalares reales$\phi_1$y$\phi_2$satisfaciendo un$SO(2)$simetría y un campo escalar complejo$\psi$son equivalentes. Sin embargo, esto último es más conveniente porque las partículas hechas por$\psi$y$\psi^\dagger$son las antipartículas de los demás. En el caso real, los campos que tienen esta propiedad son$\phi_1 \pm i \phi_2$, por lo que una vez que cambie la base de$\phi_1$y$\phi_2$a$\phi_1 \pm i \phi_2$has reinventado el campo escalar complejo.

Esto se explica muy bien a partir de la página 53 en las notas QFT de Sidney Coleman .

Como dijiste, una cantidad compleja no se puede medir en QM. Y de hecho$\psi$no es un observable, lo que se siente extraño porque los campos cuánticos a menudo se motivan al comienzo de un curso QFT como observables locales. Desafortunadamente, esta motivación no es del todo correcta, ya que rara vez medimos los campos cuánticos directamente. Por ejemplo, la densidad numérica, la densidad de carga y la densidad de corriente para un campo escalar complejo cargado son todos campos bilineales como$\psi^\dagger \psi$, y por lo tanto real.

Desde mi punto de vista, la teoría del campo libre complejo

El lagrangiano de doble campo real es, por supuesto, invariante de Lorentz. También puede representar partículas cargadas ya que también tiene$O(2)$invariancia y podemos identificar la carga de Noether correspondiente como carga eléctrica.

PERO , de hecho, existe una diferencia muy crucial entre el campo complejo y el campo real doble.$\phi$y$\phi^*$''tener'' la carga opuesta mientras$\phi_1$y$\phi_2$no (convénzase usted mismo investigando$\phi=\rho e^{i\theta}$y$\phi^*=\rho e^{-i\theta}$y la transformación de O(2) es en realidad una rotación para el$\theta$). Como los observables son las cargas, entonces$\phi$y$\phi^*$representan las partículas con carga opuesta mientras que$\phi_1$y$\phi_2$no puedo.

Los campos complejos se prestan naturalmente a una densidad de carga y corriente asociada, y esta es la razón principal de su introducción en las teorías físicas.

Considere la densidad lagrangiana$L = c^2\phi\phi^*-\mu_0^2c^2\phi\phi^*$. Una transformación del tipo$\phi' = \phi e^{i\epsilon}$,$\phi^{*'} = \phi^* e^{-i\epsilon}$corresponde en forma infinitesimal a una transformación de calibre de la forma$\delta x = 0$,$\delta \eta_\rho = \epsilon c_\rho \eta_\rho$(sin suma en$\rho$) donde el$c_\rho$son constantes y$c = i$,$c^* =-i$. Si el

La densidad lagrangiana es invariante bajo esta transformación, entonces hay una ecuación de conservación de la forma$\frac {d\Theta^\nu} {dx^{\nu}} = 0$, dónde$\Theta^\nu = c_\rho \frac {\partial{L}} {\partial{\eta_{\rho,\nu}}}\eta_\rho$.

$\frac{d\Theta^\nu}{dx^\nu} = 0$tiene la forma de una ecuación de continuidad

con$\Theta^\nu$en el papel de una densidad de corriente$j^\nu$. (Teorema de Noether).

La densidad lagrangiana dada es invariante bajo esta transformación. Por lo tanto, hay una densidad de corriente asociada para el campo de Klein-Gordon que se puede dar como$j_\mu = iq\left( \frac {d\phi} {dx^\mu} \phi^* - \phi \frac {d\phi*} {dx^\mu}\right)$, de acuerdo con la densidad de corriente QM convencional.

La derivación completa de la densidad de corriente de carga conservada depende del hecho de que el campo es complejo.

Ref: Goldstein Mecánica Clásica Capítulo 13.