¿Cuál es el operador para la corriente de borde de un estado Hall cuántico fraccionario?

El borde de un estado de Hall cuántico fraccional es una teoría de campo conforme quiral. En el caso de Laughlin corresponde al bosón quiral,

$$S = \frac{1}{4\pi} \int dt dx \left[\partial_t\phi\partial_x\phi - v (\partial_x\phi)^2\right]$$

Aquí el campo$\phi$se identifica con el operador de densidad de carga:

$$\rho(x) = \frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$$

Ahora, espera que este operador sea el componente cero de un vector de dos,$J^\mu = (\rho, j)$con$j$la corriente de borde. Entonces, ¿cómo$j$relacionado a$\phi$? La razón por la que pregunto es que la literatura da diferentes respuestas para esto.

1. Este trabajo plantea al inicio del Capítulo III utilizar la ecuación de continuidad para obtener$j = -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_x\phi$.
2. Este documento (advertencia en pdf) tiene la ecuación (2.12) relacionada$j = -\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} \partial_t\phi$. Aunque sin motivación.
3. Este artículo primero acopla la teoría a un potencial electromagnético con componentes$(a_0, a_x)$en el límite ($D_\mu = \partial_\mu + \sqrt{\nu}a_\mu$), $$S = \int dt dx \frac{1}{4\pi}\left[D_t\phi D_x\phi - v_c (D_x\phi)^2\right]+\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi}\epsilon^{\mu\lambda}a_{\mu}\partial_\lambda\phi$$ y define la corriente a través de$J^\mu = \frac{\delta S}{\delta a_{\mu}}$donación$J^\mu=(\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi, -v\frac{\sqrt{\nu}}{2\pi} D_x\phi)$.

Así que me doy cuenta de que el caso 3 se reduce al caso 1 cuando$a_x = 0$. Además, el caso 3 es invariante de calibre, por lo que este operador parece una elección lógica.

Mi problema con esta elección es el siguiente: considere un sistema con dos aristas (barra Hall cuántica infinita) y suponga que tiene un potencial distinto de cero a lo largo de una arista,$a_t = U$y$a_x = 0$a lo largo de este borde. Por lo tanto, espera que una corriente corra a través del sistema, porque los bordes se mantienen a diferentes potenciales (y la corriente corre perpendicular a la diferencia de potencial, debido a la relación cuántica de Hall). Pero:$\langle \partial_x \phi\rangle = 0$, entonces para los casos 1 y 3 no hay corriente.... ¿Eso hace que el caso 2 sea la elección correcta?

Entonces, tal vez la pregunta se reduzca a: ¿Qué operador representa la corriente de borde? ¿Qué operador se 'mide' en un experimento donde se prueba la corriente?