¿Cuál es el flujo magnético a través de un nudo de trébol?

Imagine un bucle cerrado en forma de nudo de trébol ( https://en.wikipedia.org/wiki/Trefoil_knot ). ¿Cómo se debe calcular el flujo a través de este bucle? Normalmente definimos una superficie lisa arbitraria, digamos, S cuyo límite ∂ S es el bucle dado y calcule el flujo usando su definición integral como

(1) Φ B = ∫ S B ⋅ d S
Está claro cómo usar (1) cuando el bucle es un bucle simple y la superficie también es simple , pero ¿cómo se puede extender una superficie sobre un trébol y seguir siendo cierto que para tales superficies el flujo es siempre el mismo porque ∇ ⋅ B = 0 , en otras palabras, ¿cómo se cumple el teorema de Gauss para superficies cuyo límite es un trébol?

Alternativamente, se podría introducir el vector potencial B = ∇ × A y usando el teorema de Stokes se derivan de la definición de flujo (1) eso

(2) Φ A = ∫ S ∇ × A ⋅ d S = ∮ ∂ S A ⋅ d ℓ
Entonces, siempre que podamos usar el teorema de Stokes también tenemos Φ A = Φ B . ¿Cómo se cumple el teorema de Stokes si el bucle es un trébol?

Si de hecho la aplicación del teorema de Gauss o de Stokes tiene un problema, entonces el hecho de que la integral de línea vía (2) siempre se puede utilizar para definir el flujo Φ A quiere decir que al menos en este sentido A es más fundamental que B ?

A es más fundamental que B ? Esta es una interpretación del efecto Aharanov-Bohm . Wikipedia dice "El efecto Aharonov-Bohm muestra que el local mi y B Los campos no contienen información completa sobre el campo electromagnético y los cuatro potenciales electromagnéticos (Φ, A ), debe usarse en su lugar.”
@G.Smith, la intención de mi pregunta era si, en caso de que Gauss o Stokes fallaran por un trébol y su superficie, entonces consideraríamos con justicia que A es más fundamental que B ya en EM clásico . Como acabo de enterarme de J. Murray y ChiralAnomaly, dado que siempre hay una superficie orientable para cualquier contorno, Gauss / Stokes siempre sostienen que la pregunta es irrelevante, pero no porque Aharonov-Bohm.

Respuestas (2)

Todo nudo es el límite de una superficie orientable. Tal superficie se llama superficie de Seifert . † Para cualquier nudo dado (con una incrustación dada en el espacio tridimensional), el flujo es el mismo a través de dos de esas superficies. Como de costumbre, el flujo se puede calcular integrando B sobre la superficie, o integrando A alrededor del nudo.

La figura 6 en "Visualización de superficies de Seifert" de van Wijk y Cohen ( enlace a pdf ) muestra esta bonita imagen de una superficie orientable cuyo límite es un nudo de trébol:

ingrese la descripción de la imagen aquí

El límite (el nudo del trébol) está resaltado en amarillo. Para ver que esto realmente es un nudo de trébol, imagine suavizar las torceduras y luego mirar la figura desde arriba. El hecho de que la superficie sea orientable está claro por inspección (un insecto de un lado no puede caminar hacia el otro lado sin cruzar el límite), como lo es el hecho de que no se corta a sí mismo.

Intuitivamente, podemos ver que el teorema de Stokes seguirá funcionando en este caso subdividiendo la superficie en pequeñas celdas, cada una con el nudo como límite, y aplicando el teorema de Stokes a cada celda individual. Las contribuciones de las superficies de las celdas se suman al flujo sobre la superficie completa, y las contribuciones de los límites de las celdas se cancelan entre sí donde dos límites son adyacentes, dejando solo la integral sobre el trébol.

También podemos ver intuitivamente que el flujo debe ser el mismo a través de dos de tales superficies, porque esas dos superficies pueden unirse en una sola superficie cerrada sobre la cual el flujo total debe ser cero debido a ∇ ⋅ B = 0 . El hecho de que la superficie cerrada pueda intersecarse a sí misma no es un problema, al igual que no lo es que dos superficies que se intersecan compartan el mismo nudo que el límite.

† La idea detrás de la prueba de que existe una superficie de Seifert está esbozada en "Superficies de Seifert y géneros de nudos" de Landry ( enlace a pdf ).

Para un nudo orientado genérico, puede construir una superficie orientada que tenga el nudo como límite a través del algoritmo de Seifert . El teorema de Stokes dice que el flujo a través de dos de tales superficies que comparten el mismo límite debe ser el mismo.

En principio, se podría construir una superficie de Seifert para el nudo del trébol, parametrizarlo y luego evaluar la integral de flujo. Esto puede ser tedioso, pero es posible. Sin embargo, sería mucho más simple, como usted dice, simplemente evaluar la integral de línea de A alrededor del nudo.

Dicho esto, esto no es un indicador de que A es más fundamental que B , porque no hay problema en definir esas integrales de flujo. Sería particularmente difícil evaluarlos directamente.

¿ Hay siempre una superficie de Seifert para cualquier contorno (rectificable)? En otras palabras, ¿todos los contornos son "nudos"?
@hyportnex Un nudo se define como una curva cerrada que no se corta a sí misma incrustada en R 3 , y es un teorema en la teoría de nudos que cada nudo tiene al menos una superficie de Seifert.
@hyportnex Chiral Anomaly ha escrito una respuesta maravillosa con más intuición y una buena visualización para acompañarla. No me ofendería en absoluto si aceptara esa en su lugar (y ese es en realidad un buen argumento para esperar un tiempo antes de aceptar una respuesta).
¿Cuál es el flujo magnético a través de un nudo de trébol?
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