¿Cómo puedo escribir un estado gaussiano como un estado térmico desplazado comprimido?

Seguiré las notas de A. Ferraro et al .

Un estado$\rho$de un sistema con$n$Se dice que los grados de libertad son gaussianos si su función de Wigner se puede escribir como

$$W[\rho](\boldsymbol{\alpha}) = \frac{\exp\left( -\frac{1}{2}(\boldsymbol{\alpha} - \bar{\boldsymbol{\alpha}})^T \boldsymbol{\sigma}^{-1}_\alpha (\boldsymbol{\alpha} - \bar{\boldsymbol{\alpha}}) \right) }{(2\pi)^n\sqrt{\text{Det}[\boldsymbol{\sigma}_\alpha ]}},$$ dónde$\boldsymbol{\alpha}$y$\bar{\boldsymbol{\alpha}}$son vectores que contienen todos los$2n$cuadraturas del sistema y sus valores medios, respectivamente, y$\boldsymbol{\alpha}$es la matriz de covarianza , cuyos elementos se definen como

$$[\boldsymbol{\sigma}]_{kl} := \frac{1}{2} \langle \{R_k,R_l \} \rangle - \langle R_k\rangle \langle R_l\rangle,$$ dónde$\{\cdot,\cdot\}$es el anticonmutador, y$R_k$es el$k-th$elemento del vector$\boldsymbol{R}= (q_1,p_1,\ldots,q_n,p_n)^T$con el$q$arena$p$siendo s los operadores de posición y de impulso.

Un resultado muy importante es que resulta que los estados gaussianos se pueden caracterizar completamente por su matriz de covarianza más el vector de valores esperados de las cuadraturas,$\bar{\boldsymbol{\alpha}}$. Si su sistema solo tiene un modo (un bosón), entonces solo necesita un modo simétrico$2\times2$matriz y dos números reales ($q$y$p$) para describirlo! Esto significa un total de cinco parámetros.

Como usted señala, podemos escribir cualquier estado gaussiano como

$$\rho = D(\bar{\alpha})S(\xi)\rho_{th}S^\dagger(\xi)D^\dagger(\bar{\alpha})$$ donde aqui$\bar{\alpha}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}(\bar{x}+i\bar{p})$y$\xi = r e^{i\varphi}$. Si su estado térmico tiene un número medio de fotones$N$, entonces basta con saber$N$,$r$y$\varphi$para calcular la matriz de covarianza. Sus elementos están dados por

$$\sigma_{11} =\frac{2N+1}{2} \left(\cosh (2r)+\sinh (2r)\cos (\varphi)\right)$$ $$\sigma_{22} =\frac{2N+1}{2}\left( \cosh(2r)-\sinh(2r)\cos(\varphi) \right)$$ $$\sigma_{12} =\sigma_{21}=-\frac{2N+1}{2}\sinh(2r)\sin(\varphi).$$

Puede ver que las principales propiedades del estado son capturadas por la matriz de covarianza, porque el desplazamiento$\bar{\alpha}$siempre puede ser ignorado por las operaciones locales (es una traducción de espacio de fase). En otras palabras, siempre puedes ponerlo a cero.

Respondiendo a su pregunta, tenga en cuenta que un estado gaussiano no es simplemente una distribución gaussiana. Necesita más parámetros que simplemente la varianza y la media (como lo haría para definir una distribución de probabilidad gaussiana clásica). Estos son en general cinco valores reales, pero los esenciales son los que ingresan a la matriz de covarianza, como se explicó anteriormente.

En cuanto al conmutador, no conozco ninguna fórmula cerrada. Pero sí sé que desplazar y luego apretar produce un estado que tiene el mismo apretón que el estado exprimido-desplazado, pero con un desplazamiento diferente.