¿Cuál es el campo eléctrico entre y fuera de infinitas placas paralelas?

Question

¿Cuál es el campo eléctrico entre y fuera de infinitas placas paralelas?

usuario44557

Sé que la ley de Gauss dice

\oint_{S} \vec{mi} \cdot d \vec{A} = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}

$\oint_S {\vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{{\epsilon _0 }}}$

y eso porque $\vec{E}$ es siempre paralelo a $d\vec{A}$ en este caso, y $\vec{E}$ es una constante, se puede reescribir como

| \vec{mi} | \oint_{S} | d \vec{A} | = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E} \right |\oint_S {\left | d\vec{A} \right | = \frac{q_{enc}}{{\epsilon _0 }}}$

que también es igual al flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana. He incluido una imagen para que sea más fácil hacer mi pregunta.

Placas paralelas de densidades de carga uniformes y opuestas con cilindros gaussianos I - IV

Lo que no entiendo es cómo, matemáticamente, no hay campo eléctrico "fuera" de las placas y cómo se determina el campo eléctrico entre ellas.

I - IV son cilindros gaussianos con una cara en una placa.

\vec{mi} = \vec{{mi}_{+}} + \vec{{mi}_{-}}

$\vec{E} = \vec{E_+} + \vec{E_-}$

Dónde $\vec{E_+}$ es el campo eléctrico de la placa positiva y $\vec{E_-}$ es el campo eléctrico de la placa negativa.

para yo:

| \vec{{mi}_{+}} | π r^{2} = \frac{σ π r^{2}}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_+} \right | \pi r^2 = \frac{\sigma \pi r^2}{{\epsilon _0 }}$

| \vec{{mi}_{+}} | = \frac{σ}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_+} \right | = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$

| \vec{{mi}_{-}} | π r^{2} = \frac{0}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_-} \right | \pi r^2 = \frac{0}{{\epsilon _0 }}$

| \vec{{mi}_{-}} | = 0

$\left | \vec{E_-} \right | = 0$

Esto no tiene sentido para mí porque dice que la magnitud del campo eléctrico debido a la placa negativa es 0, pero incluso si solo asumo que es porque la ley de Gauss solo funciona para superficies que encierran algo de carga e ignoran el 0 que obtuve para el campo eléctrico negativo, todavía estoy confundido por la siguiente razón:

Para III:

| \vec{{mi}_{+}} | π r^{2} = \frac{0}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_+} \right | \pi r^2 = \frac{0}{{\epsilon _0 }}$

| \vec{{mi}_{+}} | = 0

$\left | \vec{E_+} \right | = 0$

| \vec{{mi}_{-}} | π r^{2} = \frac{- σ π r^{2}}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_-} \right | \pi r^2 = \frac{-\sigma \pi r^2}{{\epsilon _0 }}$

| \vec{{mi}_{-}} | = \frac{- σ}{ϵ_{0}}

$\left | \vec{E_-} \right | = \frac{-\sigma}{\epsilon_0}$

Ahora tengo valores para $\left | \vec{E_+} \right |$ y $\left | \vec{E_-} \right |$ , pero cuando van en la misma dirección (ya que están entre las placas), suman 0, lo cual no es correcto. A la izquierda, cuando los agregas en direcciones opuestas, obtienes $\frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ y a la derecha obtienes lo mismo.

¿Qué estoy haciendo mal?

prahar

Déjame aclarar que tienes muchos factores de dos equivocados. En la región I, por ejemplo, los resultados correctos son

| {\vec{E}}_{+} | = | {\vec{E}}_{-} | = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

$|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-| = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ . De hecho, esta afirmación es cierta en TODAS las regiones. En la región I y IV, los dos están en direcciones opuestas, por lo que se cancelan. En la región II y III, los dos están en la misma dirección, por lo que se suman para dar un campo eléctrico total de

\frac{σ}{ϵ_{0}}

$\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ apuntando de izquierda a derecha en su diagrama.

el te es vida

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qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/65191/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

¿Cuál es el campo eléctrico entre y fuera de infinitas placas paralelas?

Déjame aclarar que tienes muchos factores de dos equivocados. En la región I, por ejemplo, los resultados correctos son $|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-| = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ . De hecho, esta afirmación es cierta en TODAS las regiones. En la región I y IV, los dos están en direcciones opuestas, por lo que se cancelan. En la región II y III, los dos están en la misma dirección, por lo que se suman para dar un campo eléctrico total de $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ apuntando de izquierda a derecha en su diagrama.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/65191/2451 y enlaces allí.

el te es vida · Answer 1

Los errores que estas cometiendo son:

No consideraron el flujo proveniente de ellos entre ellos. Tienes que tomar todo el flujo en todas las direcciones que viene de ellos. Debes llevar el gaussiano a través de la superficie del plano, de lo contrario obtendrás un resultado incorrecto.

$|\vec E_+|=|\vec E_-|=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ y no $\frac{-\sigma}{2\epsilon_0}$ para $|\vec E_-|.\space$ $\sigma$ es la magnitud de la densidad de carga.

Estás agregando incorrectamente los campos que te dieron $0$ adentro. Las magnitudes deben sumarse cuando las direcciones son iguales y restarse cuando las direcciones son opuestas.

Esto es lo que obtenemos de la ley de Gauss:

\vec{mi} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r$

dónde,

| \vec{mi} | = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

$|\vec{E}|=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ dónde

σ

$\sigma$ es la magnitud de la densidad de carga superficial

Entonces, afuera, si la dirección de $\vec{E_+}$ es $\hat r$ entonces, dirección de $\vec{E_-}$ es $-\hat r$

\vec{{mi}_{+}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E_+}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r$

\vec{{mi}_{-}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} (- \hat{r})

$\vec{E_-}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(-\hat r)$

\vec{{mi}_{+}} + \vec{{mi}_{-}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r} + \frac{- σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E_+}+\vec{E_-}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r+\frac{-\sigma}{2\epsilon_0}\hat r$

= 0

$=0$ En el interior, ambos

{\vec{E}}_{+}

$\vec E_+$ y

{\vec{E}}_{-}

$\vec E_-$ tiene la misma direccion

\hat{r}

$\hat r$

\vec{{mi}_{+}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E_+}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r$

\vec{{mi}_{-}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E_-}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r$

\vec{{mi}_{+}} + \vec{{mi}_{-}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r} + \frac{σ}{2 ϵ_{0}} \hat{r} = \frac{σ}{ϵ_{0}} \hat{r}

$\vec{E_+}+\vec{E_-}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r+\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat r=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\hat r$

Hablando de magnitudes, adentro hay que sumar las magnitudes,

| {\vec{mi}}_{+} | + | {\vec{mi}}_{-} | = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} + \frac{σ}{2 ϵ_{0}} = \frac{σ}{ϵ_{0}}

$|\vec E_+|+|\vec E_-|=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$

fuera, hay que restarlas,

| {\vec{mi}}_{+} | - | {\vec{mi}}_{-} | = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} = 0

$|\vec E_+|-|\vec E_-|=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=0$

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usuario44557

prahar

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qmecanico

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