Campo eléctrico fuera de un capacitor

Fuera de dos placas paralelas infinitas con carga opuesta, el campo eléctrico es cero, y eso se puede demostrar con la ley de Gauss usando cualquier superficie gaussiana imaginable. Sin embargo, puede ser extremadamente difícil de mostrar si no elige la superficie gaussiana de manera inteligente.

La forma habitual de mostrar que el campo eléctrico fuera de un capacitor infinito de placas paralelas es cero es usando el hecho (derivado usando la ley de Gauss) de que el campo eléctrico sobre una placa infinita, que se encuentra en el$xy$-plano por ejemplo, está dado por

$$\vec{E}_1=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{k}$$ dónde $\sigma$es la densidad de carga superficial de la placa. Si ahora pones otra placa con carga opuesta, es decir, opuesta $\sigma$, a cierta distancia por debajo o por encima del primero, entonces éste aporta su propio campo eléctrico, $$\vec{E}_2=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{k}$$ en la región por encima de ella. Como el campo eléctrico obedece al principio de superposición, el campo eléctrico neto sobre ambas placas es cero. Lo mismo sucede debajo de ambas placas, mientras que entre las placas el campo eléctrico es constante y distinto de cero.

Su forma de hacerlo es un poco más complicada, pero nuevamente da la misma respuesta. Por ejemplo, si elige que la superficie gaussiana tenga forma de reloj de arena con diferentes radios para los dos lados, entonces, de hecho, la carga neta encerrada no es cero. Sin embargo, cuando calcula el flujo eléctrico total a través de esa superficie, debe tener cuidado de darse cuenta de que hay un campo eléctrico distinto de cero entre las dos placas y, por lo tanto, hay un flujo distinto de cero a través de la parte de la superficie gaussiana que se encuentra entre las placas. . Ese flujo, por supuesto, debe tenerse en cuenta. Suponiendo que conoce el campo eléctrico dentro del condensador,$\vec{E}_\text{inside}$, puedes hacer la integral$\oint\vec{E}_\text{inside}\cdot d\vec{A}$para tal superficie gaussiana (en realidad no es tan difícil), y encuentra que el flujo a través de la parte de la superficie que se encuentra entre las placas es exactamente igual a$q_{\text{enclosed}}/\epsilon_0$. Por tanto, el flujo neto a través de la parte de la superficie gaussiana que se encuentra fuera de las placas tiene que ser cero, demostrando, después de pensarlo un poco, que el campo eléctrico fuera del condensador es cero.

La respuesta definitiva para$\vec{E}$nunca depende de la superficie gaussiana utilizada, pero la forma de llegar a ella siempre lo hace. Es por eso que la superficie gaussiana debe elegirse de manera inteligente, es decir, de una manera que haga que el cálculo de$\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}$fácil.

Puedes elegir una caja así. Sin embargo, este cuadro por sí solo no le permite determinar el campo eléctrico. La ley de Gauss establece que el flujo total es igual a la carga encerrada por$4\pi$. No te dice dónde sale ese flujo de la caja. Puede haber mucho aquí, nada allá, una cantidad negativa en un tercer lugar, etc.

En algunas situaciones, la simetría nos permite usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico. Una caja gaussiana que encierra ambas placas de un capacitor de placas paralelas es simétrica con respecto a una reflexión a través de un plano que pasa por el medio del capacitor. También es simétrico con respecto a las rotaciones sobre un eje perpendicular a las placas (ignorando los efectos de borde). La simetría rotacional nos permite decir que el campo eléctrico primero apunta a lo largo del eje perpendicular a las placas. La simetría de reflexión nos dice que el campo eléctrico debe ser el mismo a través de ambos lados de la caja paralela a las placas. Ese campo eléctrico debe ser cero porque la caja no tiene carga neta.

Una caja alrededor de una sola placa no tiene las mismas simetrías. Todavía tiene la simetría rotacional, por lo que el campo eléctrico debe ser perpendicular a las placas. Sin embargo, ya no tenemos la simetría de reflexión, por lo que el campo eléctrico puede tener diferentes intensidades en diferentes lados de la caja.

Sabemos que debe haber flujo neto a través de la caja porque la caja encierra carga neta. Usando el hecho de que el campo eléctrico es cero fuera del capacitor, podemos deducir que el flujo de él a través de una caja que encierra solo una placa es por todo el lado de la caja que está dentro del capacitor. Por lo tanto, el campo eléctrico debe ser$4\pi\rho$dentro del condensador.

Suponiendo que solo tiene dos cargas y ninguna afuera, tendrá el siguiente potencial de voltaje$\phi$como se muestra en la imagen de la izquierda, y un$\mathrm{E}$intensidad como se muestra en la imagen de la derecha a continuación.

Esta es simplemente la solución de la ecuación de Laplace

$$\Delta \Phi = - \cfrac{\rho}{\epsilon}\, ,$$

con la condición de contorno de dos cargas superficiales.

Una placa infinita es el único caso en el que no hay un campo eléctrico fuera del condensador, suponiendo una carga superficial distinta de cero en las placas, y que ambas densidades de carga son de valor opuesto e igual.

Referencia de la imagen:
Resolución de la ecuación de Poisson generalizada mediante el método de diferencias finitas (FDM) - Cifra científica en ResearchGate. Disponible en: https://www.researchgate.net/A-2D-parallel-plate-capacitor-The-top-plate-is-at-a-potential-of-1-0-V-while-the_fig5_228411289 [consultado 11 de julio de 2018]

Toda la premisa de esta pregunta es incorrecta. Ninguna aplicación de la ley de Gauss puede probar que el campo eléctrico fuera de un capacitor es cero, porque no necesariamente es cero. Aquí hay otra situación que satisface la ley de Gauss

-----> -     + ----->
-----> -     + ----->
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-----> -     + ----->

Las flechas son líneas de campo eléctrico que se extienden hasta el infinito, mientras que los + y - son dos láminas de carga 2D uniformes. Puede comprobar que la ley de Gauss se cumple para todas las superficies gaussianas posibles.

Cuando la gente dice "el campo eléctrico es cero fuera de un capacitor", asume que no hay otra causa de los campos eléctricos además del capacitor mismo. En el ejemplo anterior, si quitara el "condensador", habría un campo eléctrico uniforme en todo el espacio. ¿Por qué está ese campo ahí? Quién sabe, ¡pero ciertamente no es por el condensador! En otras palabras, están hablando del campo eléctrico creado por el propio condensador.

El análisis adecuado de un capacitor SUPONE que el campo es cero en el infinito y luego usa diferentes superficies gaussianas para demostrar que el campo permanece cero en todas partes fuera del capacitor.