Cosmología FLRW con un campo escalar: ¿cuáles son las variables del espacio de fase?

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Cosmología FLRW con un campo escalar: ¿cuáles son las variables del espacio de fase?

Física
cosmología
espacio de fase
expansión espacial
relatividad general
formalismo hamiltoniano

Cham

Estoy estudiando un modelo de cosmología de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) con un campo escalar simple como fuente (sin materia similar al polvo, sin radiación, sin constante cosmológica). Por el momento, el campo es solo un escalar de Klein-Gordon (KG), de potencial $\mathcal{V}(\phi) = \frac{1}{2} \; m^2 \, \phi^2$ (más adelante, lo generalizaré al potencial cuartico utilizado en la teoría de la inflación).

Las ecuaciones que necesito resolver son estas (ecuaciones FLRW y la ecuación KG):

\begin{matrix} (1) & \frac{{\dot{a}}^{2}}{a^{2}} + \frac{k}{a^{2}} = \frac{8 π GRAMO}{3} ρ, \\ (2) & \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 π GRAMO}{3} (ρ + 3 pags), \\ (3) & \ddot{ϕ} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{ϕ} + V^{'} = 0. \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \; \rho,\tag{1} \\[12pt] \frac{\ddot{a}}{a} = -\, \frac{4 \pi G}{3} (\rho + 3 p), \tag{2} \\[12pt] \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \; \dot{\phi} + \mathcal{V}^{\, \prime} = 0. \tag{3} \end{gather}$ las variables son

a (t)

$a(t)$ ,

ϕ (t)

$\phi(t)$ . La densidad de campo escalar y la presión son estas:

\begin{matrix} (4) & ρ = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} + V (ϕ), \\ (5) & pags = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - V (ϕ) . \end{matrix}

$\begin{gather} \rho = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 + \mathcal{V}(\phi), \tag{4} \\[12pt] p = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 - \mathcal{V}(\phi). \tag{5} \end{gather}$ Las condiciones iniciales son

ϕ (0) = ϕ_{0}

$\phi(0) = \phi_0$ y

\partial_{t} ϕ |_{t = 0} = {\dot{ϕ}}_{0}

$\partial_t \, \phi \, |_{t = 0} = \dot{\phi}_0$ (dos números reales arbitrarios) y el parámetro de masa

m

$m$ (un número positivo arbitrario). Para el factor de escala, establecí

a (0) = 1

$a(0) = 1$ . Dado que la tasa de expansión en

t = 0

$t = 0$ es

H_{0} \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t = 0}

$H_0 \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t=0}$ (la constante de Hubble ), su inversa podría usarse como una unidad de tiempo. Así que puse la condición inicial

\dot{a} (0) = 1

$\dot{a}(0) = 1$ .

Ahora podía resolver numéricamente las ecuaciones (2) y (3) usando $\phi_0$ , $\dot{\phi}_0$ y $m$ como entrada arbitraria, y dibujar bonitos gráficos de la evolución de $a(t)$ y $\phi(t)$ .

Ahora la pregunta es ¿cuáles deberían ser las variables adecuadas para definir el espacio de fase del factor de escala y del campo? Actualmente, estoy usando estos:

\begin{matrix} (6) & (a, \dot{a}), (ϕ, \dot{ϕ}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \big(\, a, \; \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Sospecho que debería ser algo más complicado. De un lagrangiano que no estoy escribiendo aquí (

p_{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p_q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ es el momento canónico asociado a la

q

$q$ variable), sospecho que las variables adecuadas para ser utilizadas en un diagrama de espacio de fase son estas:

\begin{matrix} (7) & (a, - 6 a \dot{a}), (ϕ, a^{3} \dot{ϕ}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \big(\, a, \; -\, 6 \, a \, \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; a^3 \, \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Pero cuando trazo los gráficos de esas variables, obtengo patrones extrañamente deformados que son difíciles de cambiar de escala. Aparentemente, las variables (6) están dando mejores resultados (más agradables de ver). Necesito consejos sobre esto.

EDITAR: Acerca de la cosmología FLRW de un campo escalar KG simple, ¿hay algún documento que discuta los resultados (de la integración numérica)? Me gustaría comparar mis resultados con algo, ya que nunca vi ninguna discusión sobre este modelo en todos los libros de Relatividad General que tengo (excepto los escenarios de inflación habituales con aproximaciones de rollo lento u otras variaciones...).

Michael Seifert

En cierto sentido, puede usar cualquier coordenada en el espacio de fase que desee. Solo cuando desea usar ciertos resultados geométricos relacionados con el movimiento en el espacio de fase (particularmente el teorema de Liouville) que las coordenadas de espacio de fase "adecuadas" en términos de momentos conjugados se vuelven más fáciles de trabajar.

Cham

@MichaelSeifert, ¿está sugiriendo que las variables (6) son lo suficientemente buenas para representar el movimiento en el espacio de fase?

Cham

Encontré dos documentos sobre las variables del espacio de fase en la cosmología escalar, pero aún no me queda claro: arxiv.org/abs/1605.05995 y arxiv.org/abs/1309.2611 . Estos documentos tienden a confirmar las variables (7) anteriores.

Respuestas (1)

Cosmología FLRW con un campo escalar: ¿cuáles son las variables del espacio de fase?

En cierto sentido, puede usar cualquier coordenada en el espacio de fase que desee. Solo cuando desea usar ciertos resultados geométricos relacionados con el movimiento en el espacio de fase (particularmente el teorema de Liouville) que las coordenadas de espacio de fase "adecuadas" en términos de momentos conjugados se vuelven más fáciles de trabajar.
@MichaelSeifert, ¿está sugiriendo que las variables (6) son lo suficientemente buenas para representar el movimiento en el espacio de fase?
Encontré dos documentos sobre las variables del espacio de fase en la cosmología escalar, pero aún no me queda claro: arxiv.org/abs/1605.05995 y arxiv.org/abs/1309.2611 . Estos documentos tienden a confirmar las variables (7) anteriores.

Giovanni Acquaviva · Answer 1

Intentaré transmitir algunas consideraciones respecto al espacio-fase de la cosmología de campos escalares, extraídas de la experiencia personal así como de la referencia https://arxiv.org/abs/1309.2611 dada por @Alguien y el comentario de @Michael Seifert. Con suerte, al mismo tiempo, esto también ayudará a responder la pregunta.

La cosmología de campo escalar es un sistema hamiltoniano autónomo. Esto significa que:

el sistema puede ser descrito por una función hamiltoniana que no depende explícitamente de la coordenada temporal (obviamente puede depender del tiempo, pero solo a través de las funciones básicas $a(t)$ , $\phi(t)$ y sus derivados);
Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi reproducen las ecuaciones de Einstein (la ecuación de Friedmann, de hecho, es una forma parametrizada de la superficie de energía constante del hamiltoniano).

Una propiedad bien conocida de los sistemas hamiltonianos es que satisfacen el teorema de Liouville: el volumen de una región del espacio de fase es invariante bajo la evolución del tiempo . Este teorema, en particular, nos dice que el campo vectorial hamiltoniano que describe la evolución de las trayectorias en el espacio de fase es libre de divergencia. En términos más familiares para las personas en el campo de los sistemas dinámicos aplicados a la cosmología, esto significa que el espacio-fase no presenta fuentes ni sumideros. Sin embargo, en la mayoría de los trabajos que aparecen en la literatura, escuchamos a personas hablar sobre "soluciones atractoras pasadas o futuras", que son efectivamente puntos en el espacio de parámetros en los que las trayectorias divergen o convergen. Dado que el sistema es indudablemente hamiltoniano, ¿cómo es compatible la presencia de atractores con el teorema de Liouville en este caso? Lo que el teorema mencionado anteriormente no especifica es que, para un sistema hamiltoniano, no hay fuentes ni sumideros en el espacio de fase si el sistema se expresa en coordenadas canónicas .

Volviendo a su ejemplo específico, en una perspectiva puramente hamiltoniana, las variables en la ecuación (7) son las canónicas, en el sentido de que dadas las coordenadas generalizadas $a$ y $\phi$ , después $p_a=-6 a \dot{a}$ y $p_{\phi}=a^3 \dot{\phi}$ son sus respectivos momentos conjugados. Por lo tanto, el espacio de fase en las coordenadas de la ecuación (7) no presenta sumideros ni fuentes. Sin embargo, las variables dadas por la ecuación (6) no son las canónicas y es por eso que una representación del espacio de fase en estas coordenadas muestra la presencia de sumideros y fuentes. Esto no significa que el sistema de coordenadas no canónico sea incorrecto: simplemente oculta parte del carácter hamiltoniano del sistema. En algunas situaciones, en realidad puede ser más útil usar un sistema de coordenadas no canónico, ya que la interpretación física de los estados en el espacio de fase podría ser más transparente.

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Michael Seifert

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