Estructura simplista de la Relatividad General

Inspirado en la física. SE: ¿La dimensionalidad del espacio de fases aumenta a medida que el universo se expande?

Me hizo preguntarme acerca de las estructuras simplécticas en GR, específicamente, ¿hay algo así como una forma de Louiville? En mi comprensión diletante, la existencia de la formulación ADM responde esencialmente a eso para casos genéricos, pero no me queda claro cómo los límites cambian esto. Específicamente, sé que si uno tiene un límite interior, entonces generalmente la evolución no es hamiltoniana; por otro lado, si el límite interior es un horizonte aislado, entonces es hamiltoniano si se cumple la primera ley de la termodinámica de agujeros negros (ver http://arxiv.org/abs/gr-qc/0407042 ).

La forma más aguda de la pregunta es, por lo tanto, ¿qué sucede cosmológicamente?

(Y como es habitual para una pregunta de nivel de investigación (?): ¿Cuáles son los términos de búsqueda de Google para obtener más información sobre esto?)

El libro de Wald sobre GR tiene una sección sobre el formalismo hamiltoniano en la Relatividad General. Es un sistema de dimensión infinita, por lo que hay que tener un poco de cuidado cuando se habla de una estructura simpléctica. Ciertamente tiene una estructura de Poisson y está restringida. La reducción de Poisson te da una estructura formalmente simpléctica.

Respuestas (1)

Note primero que el espacio de fases de cualquier teoría no es más que el espacio de todas sus soluciones clásicas. La presentación tradicional de espacios de fase por campos y sus momentos canónicos en una superficie de Cauchy es solo una forma de parametrizar todas las soluciones por datos de valor inicial, si es posible. A menudo, esto es posible, pero tiene todas las desventajas que siempre conlleva la elección de coordenadas. El espacio de fase en sí existe independientemente de estas elecciones y de si existen en primer lugar. Para enfatizar este punto, a veces se habla de espacio de fase covariante .

Esto es bien conocido, aunque permanece un poco oculto en muchos libros de texto. Para más detalles y una extensa y comentada lista de referencias al respecto ver el norte Espacio de la fase de entrada al laboratorio .

Luego, observe que el espacio de fase de cada teoría de campo que proviene de un funcional de acción local (lo que significa que es la integral de un Lagrangiano que depende solo de un número finito de derivadas de los campos) viene canónicamente equipado con una forma canónica de Liouville y un presimléctico canónico forma. La forma en que esto funciona también se discute en detalle en el espacio de fases . Una buena referencia clásica es Zuckerman , una discusión más pausada está en Crncovic-Witten .

Esta forma presimpléctica canónica que existe en el espacio fase de toda teoría local se convierte en simpléctica en el espacio fase reducido , que es el espacio obtenido al cociente las simetrías de norma. Este cociente a menudo se comporta muy mal, pero siempre existe muy bien como un cociente " derivado ", y como tal está modelado por el complejo BV-BRST (como se discutió allí). Toda la maquinaria (lagrangiana) BV-BRST está ahí para producir la forma simpléctica canónica existente en el espacio de fase reducido de cualquier funcional de acción local.

Dado que la acción de Einstein-Hilbert y todas sus variantes habituales con acoplamientos de materia, etc. es un funcional de acción local, todo esto se aplica a la gravedad. Recientemente, Fredenhagen et al. han brindado discusiones cuidadosas sobre el espacio de gravedad de fase covariante (y su forma de Liouville), consulte las referencias enumeradas aquí .

De ello se deduce que la "dimensión" del espacio de fase covariante de la gravedad no depende del "tamaño del universo", ni tiene mucho sentido preguntar esto, en primer lugar. Una cosmología dada es un solo punto en este espacio de fase (o más bien lo es en el espacio de fase reducido, después de cocientes de simetrías).

Sin embargo, es posible que esté buscando algunos truncamientos o aproximaciones efectivas o granularidad gruesa a la gravedad covariante completa. Para estos la historia podría ser diferente.

Una muy buena respuesta, aunque no sigo completamente las construcciones algebraicas (¡simplemente confiaré en las matemáticas!). Para aclararme las cosas físicamente, en este lenguaje: ¿es la existencia de un espacio de fase covariante para una topología con un horizonte aislado como límite interior debido a una teoría local bien definida de Chern-Simons sobre ese límite (los detalles están en el papel de Ashketar en la pregunta)? ¿Y que esto falla para otros tipos de horizontes porque no se puede construir una teoría de campo local como la teoría de límites?
Buena respuesta, el punto sobre el espacio de fase como un objeto covariante debería apreciarse más ampliamente.
Para que conste, Ashtekar no se queda atrás cuando se trata de la construcción del espacio de fase covariante de la estructura simpléctica. Si observa la lista de referencias en la página de nLab citada por Urs, verá los artículos de Lee-Wald y Ashtekar-Bombelli-Reula, que también se utilizan a menudo como referencias estándar sobre este tema. De hecho, el Ω V El término que Ashtekar escribe en la sección 7.2 del documento que citó se construye utilizando precisamente este método. Puedo decir más sobre el término límite Ω S , pero tendré que verlo con un poco más de detalle primero.
Creo que la mayor parte de la física interesante está en la última oración: la solución completa extendida más allá del horizonte cosmológico define un punto en este espacio de fase demasiado grande, el espacio de todas las métricas de Einstein, pero la pregunta original era sobre la reducción de la fase. espacio para describir la dinámica de un parche cosmológico. Esta reducción debería dar que hay grados de libertad más efectivos a medida que el universo se expande, y el proceso de reducción es misterioso. Creo que el espíritu de la pregunta es: ¿puedes encontrarle sentido a una reducción del parche causal?
El término límite Ω S en el artículo de Ashtekar, al parecer, tiene mucho que ver con un término límite de Chern-Simons agregado a la acción de GR mientras estudiaba la "entropía del agujero negro". Ver, arxiv.org/abs/gr-qc/9710007 . Sin necesidad de prestar atención a la motivación de este término adicional, el formalismo del espacio de fase covariante descrito por Urs le da ambos términos Ω V y Ω S .
Una nota de precaución: estas formas simplécticas deben obtenerse integrando sobre una superficie de Cauchy. Sin embargo, mientras la superficie METRO 1 en la Fig.6 de gr-qc/0407042 es Cauchy, tampoco METRO ni METRO 2 son, porque algunas curvas temporales inextensibles pueden cruzarse METRO 1 y Δ , pero ninguna de las otras dos superficies. Para obtener la forma simpléctica correcta, la integración sobre METRO o METRO 2 debe complementarse con la integración sobre la porción correspondiente dirigida al pasado de Δ . Esto debe tenerse en cuenta al calcular el término de superficie Ω S .
Finalmente, no hay nada particularmente misterioso en restringirse a un parche cosmológico oa cualquier otro tipo de parche del espacio-tiempo. Dada cualquier variedad X y Y , el espacio de soluciones de las ecuaciones de Einstein, Γ ( X ) o Γ ( Y ) , en cualquiera de ellos es de dimensión infinita. Además, un difeomorfismo X → Y induce naturalmente el mapa Γ ( Y ) → Γ ( X ) , por retroceso diferencial. Uno puede pensar en X como más pequeño que Y y por lo tanto Γ ( Y ) = Γ ( X ) × (grados de libertad adicionales). Pero X y Y tambien se podria cambiar. Así es la vida con diff-inv e inf-dim.
Gracias, Igor, por tomarte el tiempo de leer el artículo. Podría o debería recopilar estos comentarios y volver a publicarlos como respuesta a la pregunta.
@Igor: la restricción a un parche causal es misteriosa, y este es el punto central de la pregunta. Esta respuesta no responde a nada, y los comentarios dicen cosas trilladas/incorrectas en un lenguaje demasiado formal. Específicamente: ¿qué quiere decir con "X e Y se pueden intercambiar"? Si X es difeomorfo a un subconjunto de Y, entonces Y no es difeomorfo a un subconjunto de X. Un difeomorfismo de X a Y induce el mapa de inclusión obvio de todas las soluciones en Y a todas las soluciones en X, pero no viceversa.
@RonMaimon, no estoy seguro de qué decir, excepto para señalar el hecho trivial de que el intervalo ( 0 , 1 ) es difeomorfo al subintervalo ( 1 / 3 , 2 / 3 ) de sí mismo. Después X = Y = ( 0 , 1 ) ya es un contraejemplo a su afirmación. Es igualmente fácil construir ejemplos más sofisticados y de mayor dimensión. Quizás también podríamos diferir los juicios sobre el punto de la pregunta al autor original, quien por cierto marcó esta respuesta como satisfactoria.
@Igor: El OP simplemente se sintió intimidado por todas las cosas increíblemente triviales, pero tan matemáticas que se dijeron, y decidió que una respuesta +11 votada debe estar bien y completa. no lo es Esencialmente está diciendo "espacio de fase == espacio de solución", gran duh. En su comentario, leí mal "difeomorfo" por "isométrico", por supuesto que tiene razón en que las variedades pueden ser difeomorfas a las subvariedades de sí mismas, es por eso que no me gusta la jerga matemática. Sin una métrica base, no puede encontrar el horizonte o formular la noción correcta de parche causal, por lo que la noción física correcta de incrustación requiere coincidencia de límites.
Ron, la primera línea de la pregunta del OP pregunta por la estructura simpléctica del espacio de fase GR y si tiene una forma de Liouville. Mi respuesta, después de un párrafo introductorio sobre lo que realmente es el espacio de fase, analiza ambas estructuras en el espacio de fase.
@Urs: Sí, estaba siguiendo la pregunta de la versión de intercambio de pila de física, y el verdadero problema para mí era cómo se define la dinámica holográfica clásicamente en un parche de horizonte pequeño. Esta respuesta responde a la forma demasiado formal de la pregunta tal como aparece aquí, y no puedo quejarme de que no haya respondido una pregunta que no se hizo.
Enlace Crncovic-Witten muerto: 404 No encontrado :(
Hola, excelente respuesta! Lo siento, tengo 7 años de retraso, pero ¿podría comentar sobre esta pregunta mía relacionada? física.stackexchange.com/q/382195
Estructura simplista de la Relatividad General
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