Correcciones radiativas y Bremsstrahlung

P&S casi parece argumentar que deben incluirse por la sencilla razón de que, si no los incluyeran, obtendrían un resultado absurdo (es decir, infinito).

Bueno, confío en que Peskin y Schroeder no solo "parecen" argumentar de esta manera, sino que escriben este hecho de manera explícita y comprensible porque es verdadero e importante. Es la idea más importante que se puede decir sobre las divergencias infrarrojas en el proceso más simple en el que se pueden discutir las divergencias infrarrojas.

El punto central de esta discusión sobre Bremsstrahlung es que uno tiene que incluir las secciones transversales de diferentes procesos, con diferentes estados finales, para obtener un resultado finito para la sección transversal. Por supuesto, debido a que los estados finales son diferentes, no hay interferencia entre los diferentes procesos y no tendría sentido agregar las amplitudes complejas. Si uno estuviera sumando las amplitudes para diferentes procesos, ciertamente estaría mezclando manzanas y naranjas.

Sin embargo, uno puede sumar y debe sumar las secciones transversales de los procesos sin fotones, así como aquellos con un número arbitrario de fotones (especialmente los suaves, de muy baja energía) para obtener una respuesta finita. Esto no es mezclar manzanas y naranjas; se trata solo de la suma de probabilidades ordinarias para posibles resultados que son similares, necesarios para obtener la "probabilidad general".

La razón es que en QED, la probabilidad de que dos partículas cargadas se reflejen completamente elásticamente entre sí es exactamente cero. En cuanto al resultado exacto, es 100% seguro que se emiten algunos fotones durante el proceso. De hecho, la cantidad promedio de fotones que se emiten (el valor esperado de la cantidad de fotones en el estado final) es infinita. Puede decir heurísticamente que es porque el electromagnetismo es una fuerza de largo alcance que nunca deja de actuar. En otras palabras, Bremsstrahlung siempre se emite porque los objetos con carga acelerada siempre emiten radiación electromagnética (por eso tenemos que construir anillos colisionadores como el LHC que sean lo más grandes y rectos posible).

Cuando calcula las secciones transversales perturbativamente, ¿qué sucede? Usted sabe que el resultado final para la sección transversal del proceso elástico puro (sin fotones) es cero. Pero obviamente no obtienes cero a nivel de árbol: obtienes una contribución finita correspondiente al diagrama de nivel de árbol. El trabajo de los diagramas de bucle es conspirar y conducir la respuesta aproximada inicial finita distinta de cero hacia cero.

Esto sugeriría que la expansión perturbativa se descompone por completo: si el término principal a nivel de árbol es finito y si las correcciones perturbativas son relativamente más pequeñas y deberían ser más pequeñas, no pueden eliminar el término finito y llevarlo a cero.

Sin embargo, la expansión perturbativa para la sección transversal total está bien, pero se debe organizar correctamente. La capacidad de las correcciones de bucle "aparentemente pequeñas" para eliminar el término a nivel de árbol "aparentemente grande" se manifiesta mediante divergencias infrarrojas de los diagramas de bucle. Ya en un bucle, verá que hay una corrección en la amplitud y el término mixto, el producto de árbol contra un bucle en la sección transversal, le da un término negativo infinito a la sección transversal que lo lleva a cero. . Es importante que intente calcular los diagramas de un lazo y vea el término divergente en el infrarrojo, es decir, el término cuya divergencia surge de valores muy pequeños de los momentos del lazo.

Sin embargo, esta divergencia infrarroja no indica ningún problema con la teoría.

En cambio, todas las divergencias infrarrojas siempre le dicen que ha hecho una pregunta incorrecta.

No debería haber calculado la sección transversal del proceso sin fotones. La sección transversal total es realmente cero y la aproximación a nivel de árbol es mala. En su lugar, debería haber calculado una sección transversal inclusiva con el mismo estado inicial pero con un estado final ajustable que puede contener, además de las partículas cargadas, un número arbitrario de fotones con energía$E<E_{\rm min}$.

Tenga en cuenta que si estuviera imaginando que es poco probable que se produzcan fotones con energías realmente pequeñas, el límite de la sección transversal inclusiva para$E_{\rm min}\to 0$que acabo de describir sería lo mismo que la sección transversal solo para el subproceso sin fotones. Eso sería porque sería infinitamente improbable que las energías de los fotones fueran infinitamente pequeñas.

Sin embargo, en el mundo real, no es infinitamente improbable. De hecho, está garantizado que hay un número arbitrario (un número infinito en total) de fotones con energías arbitrariamente bajas, los llamados fotones suaves. Así que si tomas un pequeño$E_{\rm min}$y calcule la sección transversal inclusiva, una que permita que los fotones suaves debajo$E_{\rm min}$en el estado final también: obtiene una corrección divergente en la sección transversal de los nuevos procesos que cancela exactamente la corrección divergente negativa del diagrama de un bucle (que interfiere con el de nivel de árbol). Los términos divergentes desaparecen en este nivel y este éxito se repite en cualquier nivel de bucle.

Para aislar la parte finita real que queda, un término finito en la sección transversal que obviamente depende de$E_{\rm min}$(u otros parámetros que especifican qué estados finales de fotones suaves aún ha incluido) pero solo "suavemente": requiere algo de trabajo, pero esta contribución finita del diagrama de bucle con$k$bucles se suprime por el factor de$e^{2k}$tal como esperaba, los diagramas de bucles múltiples pierden importancia muy rápidamente (y ya no se amplifican con ningún coeficiente divergente porque las divergencias se restan).

Entonces, la divergencia infrarroja de larga distancia de la sección transversal del proceso sin fotones no es una inconsistencia de la teoría. Es solo una señal de que debería haber hecho una mejor pregunta. Porque la presencia de fotones muy suaves con$E<E_{\rm min}$en el estado final no se puede detectar experimentalmente si$E_{\rm min}$es realmente pequeño, los estados finales con tales fotones suaves son operativamente indistinguibles de los estados finales sin fotones y la teoría en realidad lo obliga a reconocer este hecho y calcular solo la sección transversal total (inclusiva).

La expansión para "secciones transversales exclusivas" que realmente no se pueden medir en el mundo real, por ejemplo, la sección transversal para la dispersión en la que los fotones arbitrariamente suaves están estrictamente prohibidos en el estado final (que no puede ser garantizado por ningún aparato) – puede conducir a una expansión de poder en$e$que contiene términos divergentes en el infrarrojo. Sin embargo, si calcula cualquier sección transversal que realmente pueda medirse con un aparato, por ejemplo, uno que permita los fotones suaves "indetectables" con energías muy bajas, QED le proporciona una expansión perturbativa perfectamente fina en$e$cuyos términos son finitos y caen geométricamente como$e^{2k}$como se esperaba de las correcciones de bucle.

Es uno de los "sellos distintivos positivistas" de la física moderna que las teorías físicas no tienen que proporcionarnos respuestas a preguntas que en realidad no se pueden medir en el mundo real. QED, al igual que otras teorías, nos brinda una expansión perfectamente consistente para las cantidades medibles que tienen en cuenta todas las limitaciones "en principio" del mundo real (incluida nuestra incapacidad para detectar algunos fotones muy suaves) y en ciencia, no está obligado a predecir cualquier otra cosa. De manera más general, este tema positivista está presente en todas partes en la física moderna. Por ejemplo, la mecánica cuántica nunca nos dice "lo que realmente está pasando" antes de una medición. Solo analiza hechos o sus probabilidades, lo que realmente se puede medir, y nos desalienta a pensar que hay "hechos concretos".

Esto está estrechamente relacionado con ¿Cuál es la diferencia entre decaimientos inclusivos y exclusivos?

Para tomar esto desde un punto de vista experimental, debe preguntarse si el instrumento realmente puede entregar una muestra de eventos "puros" o si debe entregar una muestra mixta. En el caso de estas correcciones, existe un continuo entre eventos "puros" y "corregidos", por lo que cualquier instrumento generará una mezcla.