Problema de lugar geométrico en círculo y parábola

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Problema de lugar geométrico en círculo y parábola

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Shubhraneel amigo

Los círculos se dibujan a través del vértice de una parábola. $y^2 = 4ax$ para cortar la parábola ortogonalmente en el otro punto. Encuentra el lugar geométrico de los centros de los círculos.

Lo que hice:
La tangente seguramente debe ser el diámetro del círculo. Además, la línea que pasa por el vértice perpendicular a la línea que une el vértice con el punto de la parábola debe intersecar al círculo en el otro extremo del diámetro, es decir, donde la tangente vuelve a encontrarse con el círculo. El centro del círculo debe ser su punto medio.

Entonces, tomo un punto paramétrico $P(at^2, 2at)$ en la parábola. La ecuación de la recta perpendicular a $VP$ ir a través $V$ es $2y = -tx$ . se encuentra con la tangente $ty = x + at^2$ en $G$ que es el otro extremo diametral. las coordenadas de $G$ son $\Large(\frac{-2at^2}{t^2+2}, \frac{at^3}{t^2+2})$ .Ahora el punto medio de $GP$ es el centro $L$ que resulta ser,

X = \frac{a t^{4}}{2 (t^{2} + 2)}

$\large x = \frac{at^4}{2(t^2+2)}$

y = \frac{3 a t^{3} + 4 a t}{2 (t^{2} + 2)}

$\large y = \frac{3at^3+4at}{2(t^2+2)}$ Ahora, no soy capaz de eliminar

t

$t$ de estas ecuaciones. ¿Cómo procedo?

Nota: Este problema es de la geometría de coordenadas de SL Loney, que se imprimió por primera vez hace 100 años. Entonces, seguramente debe haber una solución más corta.

Shubhraneel amigo

La respuesta dada al final del libro es

2 y^{2} (2 y^{2} + x^{2} - 12 a x) = a x (3 x - 4 a)^{2}

$2y^2(2y^2+x^2-12ax) = ax(3x-4a)^2$ .

Semiclásico

Puedes pedirle a Wolfram Alpha que elimine

t

$t$ de sus ecuaciones mediante el comando Eliminate[ x == a t^4/(2 t^2 + 4) && y == (3 a t^3 + 4 a t)/(2 t^2 + 4), t]. El resultado que obtiene es equivalente al que cita de la parte posterior del libro, por lo que evidentemente es posible eliminar

t

$t$ de lo anterior. (Parece laborioso, sin embargo, y puede ser que haya un mejor enfoque).

Respuestas (3)

Problema de lugar geométrico en círculo y parábola

La respuesta dada al final del libro es $2y^2(2y^2+x^2-12ax) = ax(3x-4a)^2$ .
Puedes pedirle a Wolfram Alpha que elimine $t$ de sus ecuaciones mediante el comando Eliminate[ x == a t^4/(2 t^2 + 4) && y == (3 a t^3 + 4 a t)/(2 t^2 + 4), t]. El resultado que obtiene es equivalente al que cita de la parte posterior del libro, por lo que evidentemente es posible eliminar $t$ de lo anterior. (Parece laborioso, sin embargo, y puede ser que haya un mejor enfoque).

Calum Gilhooley · Answer 1

Se nos da

\begin{matrix} (1) & X = \frac{a t^{4}}{2 (t^{2} + 2)}, \\ (2) & y = \frac{3 a t^{3} + 4 a t}{2 (t^{2} + 2)} . \end{matrix}

$\begin{gather} \tag{1}\label{eq:1} x = \frac{at^4}{2(t^2+2)}, \\ \tag{2}\label{eq:2} y = \frac{3at^3+4at}{2(t^2+2)}. \end{gather}$ Combinatorio

(1)

$\eqref{eq:1}$ y

(2)

$\eqref{eq:2}$ ,

t \frac{y}{a} - \frac{X}{a} = \frac{2 t^{4} + 4 t^{2}}{2 (t^{2} + 2)} = t^{2},

$t\frac{y}{a} - \frac{x}{a} = \frac{2t^4 + 4t^2}{2(t^2+2)} = t^2,$ De dónde

\begin{matrix} (3) & {(t^{2} + \frac{X}{a})}^{2} = t^{2} \frac{y^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{3}\label{eq:3} \left(t^2 + \frac{x}{a}\right)^2 = t^2\frac{y^2}{a^2}. \end{equation}$ reescritura

(1)

$\eqref{eq:1}$ ,

t^{4} - 2 \frac{X}{a} t^{2} - 4 \frac{X}{a} = 0,

$t^4 - 2\frac{x}{a}t^2 - 4\frac{x}{a} = 0,$ De dónde

\begin{matrix} (4) & {(t^{2} - \frac{X}{a})}^{2} = \frac{X^{2}}{a^{2}} + 4 \frac{X}{a} . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4}\label{eq:4} \left(t^2 - \frac{x}{a}\right)^2 = \frac{x^2}{a^2} + 4\frac{x}{a}. \end{equation}$ De

(3)

$\eqref{eq:3}$ y

(4)

$\eqref{eq:4}$ ,

4 t^{2} \frac{X}{a} = t^{2} \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{X^{2}}{a^{2}} - 4 \frac{X}{a},

$4t^2\frac{x}{a} = t^2\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} - 4\frac{x}{a},$ De dónde

\begin{matrix} (5) & t^{2} (\frac{y^{2}}{a^{2}} - 4 \frac{X}{a}) = \frac{X^{2}}{a^{2}} + 4 \frac{X}{a} . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{5}\label{eq:5} t^2\left(\frac{y^2}{a^2} - 4\frac{x}{a}\right) = \frac{x^2}{a^2} + 4\frac{x}{a}. \end{equation}$

En retrospectiva, esta deducción podría haberse acortado, pero he preferido mantenerla en una secuencia que ocurrió de manera bastante natural. De todos modos, ahora podemos sustituir $\eqref{eq:5}$ en $\eqref{eq:4}$ . Cómo hacerlo, mientras se hace el menor lío, es discutible. Decidí que era hora de deshacerme de los denominadores, por lo tanto

(a t^{2} - X)^{2} = X (X + 4 a) = t^{2} (y^{2} - 4 a X),

$(at^2 - x)^2 = x(x + 4a) = t^2(y^2 - 4ax),$ conduciendo a este lío manejable,

\begin{aligned} 4 a X (y^{2} - 4 a X)^{2} & = a^{2} [t^{2} (y^{2} - 4 a X)]^{2} - 2 a X (y^{2} - 4 a X) [t^{2} (y^{2} - 4 a X)] \\ = a^{2} [X (X + 4 a)]^{2} - 2 a X (y^{2} - 4 a X) [X (X + 4 a)], \end{aligned}

$\begin{align*} 4ax(y^2 - 4ax)^2 & = a^2[t^2(y^2 - 4ax)]^2 - 2ax(y^2 - 4ax)[t^2(y^2 - 4ax)] \\ & = a^2[x(x + 4a)]^2 - 2ax(y^2 - 4ax)[x(x + 4a)], \end{align*}$ De dónde

4 (y^{2} - 4 a X)^{2} = X (X + 4 a) [a (X + 4 a) - 2 (y^{2} - 4 a X)]

$\boxed{4(y^2 - 4ax)^2 = x(x + 4a)[a(x + 4a) - 2(y^2 - 4ax)]}$ Reuniendo todos los términos que contienen

y

$y$ en el lado izquierdo,

4 y^{2} (y^{2} - 8 a X) + 2 X (X + 4 a) y^{2} = a X (X + 4 a) [X + 4 a + 8 X] - 4 (4 a X)^{2} .

$4y^2(y^2 - 8ax) + 2x(x + 4a)y^2 = ax(x + 4a)[x + 4a + 8x] - 4(4ax)^2.$ simplificando,

\begin{aligned} 2 y^{2} (2 y^{2} - dieciséis a X + X^{2} + 4 a X) & = a X [(X + 4 a) (9 X + 4 a) - 64 a X] \\ = a X (9 X^{2} - 24 a X + dieciséis a^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} 2y^2(2y^2 - 16ax + x^2 + 4ax) & = ax[(x + 4a)(9x + 4a) - 64ax] \\ & = ax(9x^2 - 24ax + 16a^2), \end{align*}$ y finalmente,

2 y^{2} (2 y^{2} + X^{2} - 12 a X) = a X (3 X - 4 a)^{2}

$\boxed{2y^2(2y^2 + x^2 - 12ax) = ax(3x - 4a)^2}$

Tomar suma y diferencia de cuadrados, completar cuadrados, etc. son métodos comunes de eliminación, creo que esto es exactamente lo que esperaba el libro.

Chico mayor · Answer 2

Encontremos la pendiente de la tangente:

y^{2} = 4 a X

$y^2=4ax$

2 y y^{'} = 4 a

$2yy'=4a$

y^{'} = \frac{2 a}{y}

$y'=\frac{2a}y$

Distancias $OL$ y $LP$ son iguales:

\begin{matrix} (1) & X_{L}^{2} + y_{L}^{2} = (X_{PAG} - X_{L})^{2} + (y_{PAG} - y_{L})^{2} \end{matrix}

$x_L^2+y_L^2=(x_P-x_L)^2+(y_P-y_L)^2\tag{1}$

El punto $P$ se encuentra en la parábola:

\begin{matrix} (2) & y_{PAG}^{2} = 4 a X_{PAG} \end{matrix}

$y_P^2=4ax_P\tag{2}$

Línea $LP$ es tangente a la parábola:

\begin{matrix} (3) & \frac{y_{PAG} - y_{L}}{X_{PAG} - X_{L}} = y_{PAG}^{'} = \frac{2 a}{y_{PAG}} \end{matrix}

$\frac{y_P-y_L}{x_P-x_L}=y'_P=\frac{2a}{y_P}\tag{3}$

Introduzca las siguientes sustituciones:

\begin{matrix} (4) & X_{PAG} - X_{L} = tu \end{matrix}

$x_P-x_L=u\tag{4}$

\begin{matrix} (5) & y_{pag} - y_{L} = v \end{matrix}

$y_p-y_L=v\tag{5}$

Reemplace (4) y (5) en (2) y (3):

\begin{matrix} (6) & (v + y_{L})^{2} = 4 a (tu + X_{L}) \end{matrix}

$(v+y_L)^2=4a(u+x_L)\tag{6}$

\begin{matrix} (7) & \frac{v}{tu} = \frac{2 a}{v + y_{L}} \end{matrix}

$\frac{v}{u}=\frac{2a}{v+y_L}\tag{7}$

De (6) y (7) se obtiene:

\begin{matrix} (8) & v^{2} = y_{L}^{2} - 4 a X_{L} \end{matrix}

$v^2=y_L^2-4ax_L\tag{8}$

\begin{matrix} (9) & tu = \frac{1}{2 a} v (v + y_{L}) \end{matrix}

$u=\frac{1}{2a}v(v+y_L)\tag{9}$

Reorganizar (1):

X_{L}^{2} + y_{L}^{2} = {tu}^{2} + v^{2} = \frac{1}{4 a^{2}} v^{2} (v + y_{L})^{2} + v^{2}

$x_L^2+y_L^2=u^2+v^2=\frac{1}{4a^2}v^2(v+y_L)^2+v^2$

4 a^{2} (\frac{X_{L}^{2} + y_{L}^{2}}{v^{2}} - 1) = (v + y_{L})^{2}

$4a^2\left(\frac{x_L^2+y_L^2}{v^2}-1\right)=(v+y_L)^2$

\frac{4 a^{2}}{v^{2}} (X_{L}^{2} + y_{L}^{2} - v^{2}) - v^{2} - y_{L}^{2} = 2 v y_{L}

$\frac{4a^2}{v^2}(x_L^2+y_L^2-v^2)-v^2-y_L^2=2vy_L$

{(\frac{4 a^{2}}{v^{2}} (X_{L}^{2} + y_{L}^{2} - v^{2}) - v^{2} - y_{L}^{2})}^{2} = 4 v^{2} y_{L}^{2}

$\left(\frac{4a^2}{v^2}(x_L^2+y_L^2-v^2)-v^2-y_L^2\right)^2=4v^2y_L^2$

Ahora reemplaza (8) en (10) y el resultado final es el lugar geométrico de los puntos $L(x_L,y_L)$ .

Espero no haber cometido ningún error en el camino. Incluso si lo hice, creo que lo he demostrado de la manera correcta.

Sí, pero la simplificación de la expresión es demasiado complicada como lo habría sido con mi método. Aunque, en este método, es más fácil llegar a la ecuación que en mi método, que necesita una gran cantidad de enfoque indirecto para eliminar

Azul · Answer 3

Simplifique ligeramente sustituyendo $x = au/2$ y $y= av/2$ . Entonces su parametrización produce

\begin{matrix} (1) & tu (t^{2} + 2) = t^{4} v (t^{2} + 2) = t (3 t^{2} + 4) \end{matrix}

$u(t^2+2)=t^4 \qquad v(t^2+2)=t(3t^2+4) \tag{1}$ Elevar al cuadrado la segunda ecuación nos da un sistema en potencias pares de

t

$t$ , así que define

s := t^{2}

$s := t^2$ , donación

\begin{matrix} (2) & tu (s + 2) = s^{2} v^{2} (s + 2)^{2} = s (3 s + 4)^{2} \end{matrix}

$u(s+2) = s^2 \qquad v^2(s+2)^2=s(3s+4)^2 \tag{2}$ Podemos usar el

u

$u$ ecuación para reducir las potencias de

s

$s$ en el

v

$v$ ecuación. Será tedioso, pero completamente mecánico. Al menos podemos esperar el hecho de que el resultado final será lineal en

s

$s$ .

\begin{aligned} (3) & v^{2} (s^{2} + 4 s + 4) & = s (9 s^{2} + 24 s + dieciséis) \\ (4) & v^{2} (tu (s + 2) + 4 s + 4) & = s (9 \cdot tu (s + 2) + 24 s + dieciséis) \\ (5) & v^{2} (s (tu + 4) + 2 (tu + 2)) & = 3 s^{2} (3 tu + 8) + 2 s (9 tu + 8) \\ (6) & v^{2} (s (tu + 4) + 2 (tu + 2)) & = 3 (3 tu + 8) \cdot tu (s + 2) + 2 s (9 tu + 8) \\ (7) & s (v^{2} (tu + 4) - 9 {tu}^{2} - 42 tu - dieciséis) & = 6 tu (3 tu + 8) - 2 v^{2} (tu + 2) \end{aligned}

$\begin{align} v^2(\;s^2+4s+4\;)&=s(\;9s^2+24s+16\;) \tag{3}\\ v^2(\;u(s+2)+4s+4\;)&=s(\;9\cdot u(s+2)+24s+16\;) \tag{4}\\ v^2(\;s(u+4)+2(u+2)\;)&=3s^2(3u+8)+2s(9u+8) \tag{5}\\ v^2(\;s(u+4)+2(u+2)\;)&=3(3u+8)\cdot u(s+2)+2s(9u+8) \tag{6}\\ s(\;v^2(u+4)-9u^2-42u-16\;) &= 6u(3u+8)-2v^2(u+2) \tag{7} \end{align}$

A partir de aquí, nosotros ---y por "nosotros" me refiero a "el lector"--- podemos resolver $(7)$ para $s$ y sustituir de nuevo en el $u$ ecuación en $(2)$ . Una vez que el polvo se asiente, "nosotros" tendremos la $u$ - $v$ equivalente de la relación objetivo:

\begin{matrix} (⋆) & v^{2} (2 v^{2} + {tu}^{2} - 24 tu) = tu (3 tu - 8)^{2} \end{matrix}

$v^2 (\;2v^2+u^2-24 u\;) = u (\;3u-8\;)^2 \tag{$\star$}$

Problema de lugar geométrico en círculo y parábola

Shubhraneel amigo

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Azul

¿Necesita una explicación de qué es exactamente una directriz y un foco?

Desde un punto de un círculo dado, se dibujan tangentes a la elipse. Necesidad de encontrar el lugar geométrico de la cuerda de contacto.

Propiedad de las elipses que involucran normales en los extremos de una cuerda focal y el punto medio de esa cuerda

Elipses dado foco y dos puntos

Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos

Encuentra la distancia más corta entre el punto y una parábola

Encuentre la(s) intersección(es) entre una parábola parametrizada y una línea

Cinco puntos se encuentran todos en la cónica.

Solución de sistema de ecuaciones no lineales

¿Cuál es la forma más fácil de encontrar el círculo dados tres puntos?