Constantes adimensionales en física

en primer lugar, la pregunta que está haciendo es muy importante y puede dominarla por completo.

Las constantes dimensionales son aquellas que tienen unidades, como$c, \hbar, G$, o incluso$k_{\rm Boltzmann}$o$\epsilon_0$en SI. Las unidades - como el metro; kilogramo; segundo; Amperio; kelvin - han sido elegidos parcialmente arbitrariamente. Son el resultado de accidentes culturales aleatorios en la historia de la humanidad. Un segundo fue elegido originalmente como 1/86,400 de un día solar, un metro como 1/40,000,000 del meridiano promedio, un kilogramo como la masa de 1/1,000 metros cúbicos (litro) de agua o más tarde la masa de un prototipo elegido al azar , un amperio para que$4\pi \epsilon_0 c^2$es una potencia simple de 10 en unidades SI, un Kelvin como 1/100 de la diferencia entre los puntos de fusión y ebullición del agua.

Claramente, la circunferencia de la Tierra, el día solar, un ladrillo prototipo de platino en un castillo francés o las transiciones de fase del agua no se encuentran entre las características más "fundamentales" del Universo. Hay muchas otras formas de elegir las unidades. Alguien podría elegir 1,75 metros, la altura promedio de un hombre, como su unidad de longitud (algunas personas extrañas en la historia incluso han usado sus pies para medir distancias) y aún podría llamarlo "un metro". Sería su medidor. En esas unidades, los valores numéricos de la velocidad de la luz serían diferentes.

Exactamente los productos o proporciones de potencias de constantes fundamentales que son adimensionales son aquellos que no tienen unidades, por definición, lo que significa que son independientes de todas las elecciones culturales aleatorias de las unidades. Entonces, todas las civilizaciones en el Universo, a pesar de la ausencia de interacciones entre ellas en el pasado, estarán de acuerdo sobre el valor numérico de la relación de masa protón-electrón, que es aproximadamente$6\pi^5=1836.15$(¡la fórmula es solo un adelanto que noté cuando tenía 10 años!) - y sobre la constante de estructura fina,$\alpha\sim 1/137.036$, y así.

En el modelo estándar de física de partículas, hay alrededor de 19 parámetros adimensionales que "realmente" determinan el carácter de la física; todas las demás constantes como$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann}, \epsilon_0$dependen de la elección de las unidades, y el número de unidades independientes (metro, kilogramo, segundo, amperio, Kelvin) es exactamente lo suficientemente grande como para que todas esas constantes,$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann},\epsilon_0$, puede establecerse igual a uno que simplifica todas las ecuaciones fundamentales de la física donde estas constantes fundamentales aparecen con frecuencia. Cambiando el valor de$c$, uno solo cambia las convenciones sociales (lo que significan las unidades), no las leyes de la física.

Las unidades en las que todas estas constantes son numéricamente iguales a 1 se denominan unidades de Planck o unidades naturales, y Max Planck entendió que esta era la elección más natural ya hace 100 años.$c=1$se está configurando en cualquier análisis "maduro" que involucre la relatividad especial;$\hbar=1$se usa en todas partes en la mecánica cuántica "adulta";$G=1$o$8\pi G=1$a veces se usa en la investigación de la gravedad;$k_{\rm Boltzmann}=1$se utiliza siempre que los fenómenos térmicos se estudien microscópicamente, a nivel profesional;$4\pi\epsilon_0$es solo un factor molesto que puede establecerse en uno (y en las unidades gaussianas del siglo XIX, tales cosas en realidad se establecen en uno, con un tratamiento diferente del$4\pi$factor); en lugar de un mol en química, los físicos (investigadores en una disciplina más fundamental) simplemente cuentan las moléculas o átomos y saben que un mol es solo un paquete de$6.022\times 10^{23}$átomos o moléculas.

Los 19 (¿o 20?) parámetros adimensionales reales del modelo estándar pueden clasificarse como las tres constantes de estructura fina$g_1,g_2,g_3$del$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$grupo de calibre; Valor de expectativa de vacío de Higgs dividido por la masa de Planck (lo único que trae una escala de masa, y esta escala de masa solo distingue diferentes teorías una vez que también tenemos en cuenta la gravedad); los acoplamientos de Yukawa con el Higgs que determinan las masas de quarks y fermiones y su mezcla. También se debe considerar el fuerte ángulo CP de QCD y algunos otros.

Una vez que elige un modelo estándar modificado que aprecia que los neutrinos son masivos y oscilan, 19 se eleva a aproximadamente 30. La nueva física, por supuesto, infla el número. SUSY descrito por la ruptura suave de SUSY tiene alrededor de 105 parámetros en el modelo mínimo.

Los 19 parámetros originales del Modelo Estándar pueden expresarse en términos de parámetros más "fundamentales". Por ejemplo,$\alpha$del electromagnetismo no es muy fundamental en la física de alta energía porque el electromagnetismo y las interacciones débiles se unifican a energías más altas, por lo que es más natural calcular$\alpha$de$g_1,g_2$del$U(1)\times SU(2)$grupo calibre. Además, estos acoplamientos$g_1,g_2$y$g_3$ejecutar: depende de la escala de energía aproximadamente logarítmicamente. Los valores como$1/137$porque la constante de estructura fina son los valores de baja energía, pero los valores de alta energía son en realidad más fundamentales porque las leyes fundamentales de la física son aquellas que describen la física de muy corta distancia mientras que la física de larga distancia (baja energía) se deriva a partir de ese.

Mencioné que la cantidad de parámetros adimensionales aumenta si agrega nuevas físicas como SUSY con ruptura suave. Sin embargo, teorías unificadoras más completas, como las grandes teorías unificadas y especialmente la teoría de cuerdas, también implican varias relaciones entre las constantes previamente independientes, por lo que reducen el número de parámetros adimensionales independientes del Universo. Las grandes teorías unificadas básicamente establecen$g_1=g_2=g_3$(con el factor correcto de$\sqrt{3/5}$añadido a$g_1$) en su escala de energía "GUT" característica; también pueden relacionar ciertos acoplamientos de Yukawa.

La teoría de cuerdas es perfeccionista en este trabajo. En principio, todas las constantes continuas adimensionales se pueden calcular a partir de cualquier vacío de cuerda estabilizado, por lo que toda la incertidumbre continua se puede eliminar mediante la teoría de cuerdas; uno puede realmente probar que es el caso. No hay nada que ajustar continuamente en la teoría de cuerdas. Sin embargo, la teoría de cuerdas viene con una gran clase discreta de vacío estabilizado, que es como máximo contable y posiblemente finito pero grande. Aún así, si hay$10^{500}$vacío fibroso semirrealista estabilizado, solo hay 500 dígitos para ajustar (y luego puede predecir todo con cierta precisión, en principio), mientras que el modelo estándar con sus 19 parámetros continuos tiene 19 veces infinito de dígitos para ajustar de acuerdo con los experimentos.

Sólo las cantidades adimensionales son importantes. Son solo números puros y no puede haber ninguna ambigüedad sobre su valor. Esto no es así con las cantidades dimensionales. Por ejemplo, si te digo mi velocidad$v$relativo a ti es$0.5\, \rm speedons$eso no te da mucha información ya que tengo la libertad de definir mi$\rm speedon$unidades como yo quiera. La única forma en que puedo darle algo de información es si le doy una cantidad adimensional como$v/c = 0.5$.

Ahora, lo que necesitamos para hacer que las cantidades dimensionales sean adimensionales es alguna escala de referencia (en el ejemplo anterior era$c$). En principio, podemos elegir cualquier escala que queramos, pero generalmente será algo de la experiencia del día a día. Por ejemplo, elige el medidor para que sea lo que es, de modo que las cosas que normalmente encuentra (otras personas, casas, árboles, etc.) sean del orden$\sim 1$con respecto al metro. Así se originaron todas nuestras unidades. Naturalmente, no hay nada particularmente especial en los humanos y las escalas con las que suelen trabajar. Sabemos que hay muchas escalas importantes a medida que descendemos a tamaños atómicos y nucleares. También sabemos que hay una escala de velocidad más importante (a saber, ultra-relavistic$v/c \to 1$). Y así.

Aún así, necesitamos elegir algunas unidades con las que trabajar para poder calcular cualquier cosa y sería bueno elegir algunas unidades que no sufrieran la arbitrariedad mencionada anteriormente. Resulta que estamos de suerte porque la naturaleza nos ha dado pocas constantes especiales. Cada uno de ellos está relacionado con alguna teoría fundamental ($c$en relatividad especial,$G$en gravedad,$\hbar$en mecánica cuántica, etc.). Sería una tontería no explotar este generoso regalo. Así que podemos hablar de velocidades de 0,9 (lo que significa que en realidad$v/c$), acción de 20 ($=S/\hbar$) y así. Este sistema de unidades se llama de Planck y, aunque no se usa en la vida cotidiana por razones obvias, es muy útil cada vez que tratamos con física fundamental.

(...) ¿Es esta un área en la que los físicos tienen preocupaciones reales o gastan una investigación significativa?

Curiosamente, Paul Dirac hizo una investigación sobre Cosmología, basada en la consideración de combinaciones adimensionales de números cercanos a la unidad, que se construyen a partir de cantidades físicas fundamentales. Las combinaciones mezclaron cantidades microfísicas como la carga del electrón con parámetros cosmológicos como la constante de Hubble. Este es un ejemplo, extraído del libro Coles/Lucchin Cosmology (Wiley, 2nd ed 2002):

$\frac{e^{4}H_{0}}{Gm_{p}m_{e}^{2}c^{3}} \simeq 1$

Asumir la validez de esta relación tiene implicaciones interesantes: dado que$H_{0}$evoluciona con el tiempo, una o más de las llamadas constantes fundamentales que aparecen en la ecuación también deben variar en el tiempo. Esto condujo a algunos intentos de construir teorías con diferentes valores pasados ​​de la constante gravitacional.

La teoría está casi olvidada. Todavía no está del todo claro si abrió una caja de Pandora de especulación numerológica, o si allí se esconde algo con un significado físico profundo, aún sin revelar. La explicación actual para estas coincidencias numéricas (?) es el Principio Antrópico Débil, que me parece al menos tan especulativo y filosófico como la idea original de Dirac.

Aquí hay un enlace al texto completo de un artículo de Dirac sobre la pregunta, en 1974: http://www.jstor.org/discover/10.2307/78591?uid=3737952&uid=2&uid=4&sid=21101428637013

El universo se puede describir dentro de un marco matemático formal; por lo tanto, todas las cantidades físicas se pueden describir mediante ecuaciones que contienen solo números adimensionales. Ahora, dado cualquier conjunto de ecuaciones, siempre puede introducir variables de escala que le permitan estudiar ciertos límites de escala de la teoría. El universo tal como lo experimentamos se puede describir con precisión como un límite de escala degenerado que requiere la introducción de 3 variables de escala y luego tomar un límite de escala en el orden correcto. Ese límite degenerado es lo que llamamos "física clásica".

Dado que no estamos exactamente en el límite de escala, las variables de escala no están realmente en sus valores límite (infinitos o cero). Pero para obtener la física clásica exactamente, necesita enviar estas variables a sus límites apropiados. Dado que comenzamos con un conocimiento casi nulo de las leyes de la física hace varios siglos, necesitábamos descubrir cómo funciona el universo haciendo experimentos. Pero como vivimos casi en el límite de escala, lo que pasa es que ciertas relaciones entre observables son muy difíciles de observar (exactamente en el límite de escala, puedes terminar con ecuaciones singulares, luego pierdes relaciones entre variables físicas). Entonces parece que una descripción completa del Universo requiere algunas variables físicas independientes que no pueden relacionarse entre sí.

Luego desarrollamos un formalismo matemático que impone esta incompatibilidad a través de la introducción de "dimensiones". Cuando más tarde supimos cómo se relacionan realmente estas cantidades supuestamente incompatibles, encontramos que estas relaciones con las variables de escala aparecen como constantes dimensionales en las ecuaciones que, cuando se expresan en las unidades antiguas, tienen una magnitud muy grande o pequeña.

Hablando de la relación de masa electrón-protón (que es aproximadamente 1/1836), Lubosh descubrió que podría estar relacionado con$\pi$, y creo que es una especie de constante de acoplamiento en el átomo de hidrógeno.

El átomo tiene el centro de las variables de inercia y las variables de movimiento interno. Cuando se aplica una fuerza externa al núcleo atómico, el átomo se acelera como un todo y su movimiento interno también puede ser excitado. El radio$m_e/m_p$determina la eficiencia de "bombeo" de los grados internos de libertad de un átomo con una fuerza externa que actúa sobre el núcleo.

EDITAR: Al ver tantos votos negativos, cambié de opinión. Estoy de acuerdo con Lubosh:$m_p/m_e = 6\pi^5$y no tiene nada que ver con la física :-(.