¿Calcular la velocidad final de dos protones en colisión?

Como has dicho, la fuerza de Coulomb es una fuerza interna. Por lo tanto, el impulso siempre se conserva y ambos métodos darían la misma respuesta (la primera).

Debes darte cuenta de tres cosas:

1. La conservación del momento es solo otra forma de representar las Leyes de Newton.
2. Esta es una situación de colisión completamente elástica con$e=1$. Aquí la repulsión entre los protones actúa como resorte.

3. Cuando dos cuerpos chocan siempre debe llegar un momento en que ambos cuerpos se muevan con la misma velocidad. Cuando esto sucede, la energía potencial dentro del sistema es máxima. En su caso, después de que los cuerpos adquieran velocidades iguales, las fuerzas internas de Coulombic repelerían los protones y se los llevarían de tal manera que intercambiarían sus velocidades.

Pero, ¿cuándo terminaría la colisión?

Digamos que esta es la energía potencial eléctrica inicial del sistema:$U_{electric-initial}= k\frac {q^2}{r}$

La colisión terminaría cuando$U_{electric-final}=U_{electric-inital}$

Esto, por supuesto, en el ámbito de la mecánica clásica. En realidad, cuando dos protones chocan, pueden crear nuevas partículas.

tl;dr Para una separación inicial infinita, las velocidades finales de las partículas dadas$P_1,P_2$sería de hecho$0,\sqrt{2 m_2E}$dónde$E$es la energía inicial total del sistema

Ciertas aclaraciones están en orden

y p1 se mueve con velocidad horizontal uniforme

En la dispersión de Coulomb de dos cargas, no es posible que la carga entrante mantenga una velocidad uniforme. Necesariamente experimenta aceleración en el campo de carga fuente.

He considerado a la Fuerza Colombina como una fuerza interna.

Independientemente de su consideración, la interacción de Coulomb debe considerarse interna para fines de conservación de la energía y la cantidad de movimiento, ya que actúa de manera igual y opuesta sobre las dos cargas.

Para una colisión elástica$\ldots$

Estrictamente hablando, la colisión no es elástica, ya que incluso a velocidades no relativistas, hay alguna pérdida de energía a través de la radiación EM . Sin embargo, para nuestros propósitos, podemos considerar que es insignificantemente pequeño.

$\ldots$de dos objetos$\ldots$

Para energías suficientemente bajas, los protones inicialmente en número dos mantienen su cuenta, pero no necesariamente a energías más altas en las que se pueden crear nuevas partículas. Sin embargo, a energías tan increíblemente altas, también es probable que la interacción protón-protón ya no sea puramente electromagnética, por lo que nuestro modelo no se aplicará de todos modos.

$\ldots$la velocidad final p1 viene dada por$\ldots$

Las fórmulas que ha utilizado se utilizan en la dispersión dura de objetos puntuales: el objeto tiene las velocidades entrantes$u_i$, velocidades salientes$v_i$y solo interactúan en el vértice de interacción. Siempre antes y después, no interactúan y tienen velocidades uniformes. Este modelo no es cierto para nuestros dos protones en colisión.

De hecho, sería más apropiado llamar a esto dispersión protón-protón o pp en lugar de la 'colisión' anotada clásicamente, aunque eso no es criminal.

Crítica de "Primera forma de analizar la colisión"

A pesar de la inaplicabilidad mencionada anteriormente del modelo de dispersión dura, existen otros problemas en su aplicación:

• Las fórmulas utilizan$u_2$- la velocidad inicial del segundo protón$P_2$. Has tomado esto como$0$. ¿Por qué? Como pronto indicará en su segundo enfoque, el segundo protón se pone en movimiento debido a su interacción con la partícula entrante. La única vez que está en reposo en el marco del laboratorio es al comienzo de nuestro análisis. Entonces, evaluando las fórmulas en este instante, (eso es lo que establece$u_2=0$implica) difícilmente cuenta como evaluar sus velocidades 'finales'. ¿No estaría de acuerdo en que un mejor instante para etiquetar como 'el momento de la colisión' hubiera sido el momento de máxima aproximación, si nunca más? Sin justificación para aplicar las fórmulas en la época de inicio, el tratamiento no está bien razonado.
• En la dispersión suave, las velocidades de los protones siguen cambiando para siempre. Las únicas velocidades 'inicial' y 'final' significativas de las que hablar son aquellas en las que las fuerzas en cada una de ellas son cero. Esto sucede cuando su separación es infinita. Con este fin, no ha mencionado si$P_1$tiene velocidad$a$en el infinito o a una distancia finita de$P_2$.

Sin embargo, el resultado final al que llega a través de su razonamiento en este enfoque es correcto. En separación infinita$^1$, las velocidades finales de las partículas dadas$P_1,P_2$sería de hecho$0,\sqrt{2 m_2E}$dónde$E$es la energía inicial total del sistema$^2$.

¿Por qué las fórmulas de dispersión dura funcionan según lo previsto? Esto se debe a que cuando consideramos que los estados inicial y final de la dispersión son aquellos con una separación infinita, en estas épocas podemos agrupar el Coulomb (o cualquier interacción) en la maquinaria interna del vértice de interacción. Las fórmulas de dispersión dura son independientes de las partes internas de este vértice de colisión y se comportan como si la partícula entrante colisionara con otra partícula; la única diferencia es que el vértice ya no es un punto, sino que todo el espacio y el tiempo de interacción no es un instante sino infinito. . Si esto es realmente lo que lo motivó a este enfoque, no quedó claro en su pregunta.

Crítica de "Segunda forma de analizar la colisión"

Lo único que faltaba aquí era que detuvieras tu análisis en el momento de mayor acercamiento. ¿Por qué? Como se discutió en la sección anterior, las velocidades finales son aquellas cuando las partículas se han alejado infinitamente unas de otras nuevamente. Entonces, después de su momento relativamente estacionario de acercamiento más cercano, su repulsión mutua los aleja. Además, debido a la simetría del problema, en el marco COM, las cinemáticas más allá de esta época son exactamente como si las anteriores hubieran estado invertidas en el tiempo.

---

Pie de página

$^1$Suponiendo que las partículas inicialmente también estuvieran infinitamente separadas; sin embargo, hay una manera de extender el argumento a separaciones finitas.

$^2$Para la configuración dada,

$$E=\frac{m_1 a^2}{2}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{L}\tag{SI units}$$

dónde$L$es la separación inicial de las dos cargas.