Conservación del momento con fotones

Question

Conservación del momento con fotones

aficionado

Tome un cuerpo que tenga masa $M$ y velocidad $v$ , tiene impulso inicial $Mv$ . El cuerpo irradia dos fotones de la misma "masa" en direcciones directamente opuestas (uno en la dirección de movimiento del cuerpo, uno en la dirección opuesta). La cantidad de movimiento del sistema se reduce: $(M-2m)v + mc - mc = Mv - 2mv$ . ¿Significa que la velocidad del cuerpo aumenta o hay alguna otra explicación para la falta de impulso?

Omry

Los fotones no tienen masa. Pero, ¿por qué una disminución de la cantidad de movimiento sería igual a un aumento de la velocidad?

aficionado

Los fotones tienen masa porque E=mc2. Si el cuerpo irradia un fotón con una masa m, pierde masa m. Dudo que la velocidad deba aumentar. Pero veo que falta algo de impulso en esta configuración si utilizo el enfoque clásico.

Juan Rennie

Los fotones no tienen masa, me temo. Pueden llevar impulso, dado por

p = h / λ

$p = h/\lambda$ , pero no tienen masa. No es que esto haga ninguna diferencia a su pregunta.

Omry

No, los fotones no tienen masa. Consulte physics.stackexchange.com/q/277173 y sus enlaces.

aficionado

La discusión sobre la masa es irrelevante. Si un cuerpo irradia un fotón, pierde masa que es igual a la energía del fotón dividida por el c^2. Por otro lado, el fotón lleva un impulso que no depende de la velocidad (inicial) del cuerpo. Puede reemplazar m con (E/c^2), no cambia el resultado.

Nemo

Los fotones no tienen masa. Tienen energía. Si la velocidad del cuerpo aumentara, su energía también aumentaría. Pero, ¿cómo puede aumentar la energía del cuerpo si pierde energía al irradiar fotones?

proyecto de ley n

@annav ¿No es posible que en el marco del laboratorio los dos fotones tengan energías iguales y momentos opuestos, mientras que en el marco CM (moviéndose en el laboratorio) los fotones tengan diferentes energías y momentos, es decir,

γ M β c + E_{p h o t o n_{1}} / c - E_{p h o t o n_{2}} / c = 0

$\gamma M \beta c + E_{photon_1}/c - E_{photon_2}/c = 0$ ?

gilberto

@BillN hay un artículo reciente sobre esto, al que vinculé en mi respuesta a continuación.

Respuestas (6)

Conservación del momento con fotones

Los fotones no tienen masa. Pero, ¿por qué una disminución de la cantidad de movimiento sería igual a un aumento de la velocidad?
Los fotones tienen masa porque E=mc2. Si el cuerpo irradia un fotón con una masa m, pierde masa m. Dudo que la velocidad deba aumentar. Pero veo que falta algo de impulso en esta configuración si utilizo el enfoque clásico.
Los fotones no tienen masa, me temo. Pueden llevar impulso, dado por $p = h/\lambda$ , pero no tienen masa. No es que esto haga ninguna diferencia a su pregunta.
No, los fotones no tienen masa. Consulte physics.stackexchange.com/q/277173 y sus enlaces.
La discusión sobre la masa es irrelevante. Si un cuerpo irradia un fotón, pierde masa que es igual a la energía del fotón dividida por el c^2. Por otro lado, el fotón lleva un impulso que no depende de la velocidad (inicial) del cuerpo. Puede reemplazar m con (E/c^2), no cambia el resultado.
Los fotones no tienen masa. Tienen energía. Si la velocidad del cuerpo aumentara, su energía también aumentaría. Pero, ¿cómo puede aumentar la energía del cuerpo si pierde energía al irradiar fotones?
@annav ¿No es posible que en el marco del laboratorio los dos fotones tengan energías iguales y momentos opuestos, mientras que en el marco CM (moviéndose en el laboratorio) los fotones tengan diferentes energías y momentos, es decir, $\gamma M \beta c + E_{photon_1}/c - E_{photon_2}/c = 0$ ?
@BillN hay un artículo reciente sobre esto, al que vinculé en mi respuesta a continuación.

cris · Answer 1

Lo que sea que esté emitiendo estos fotones es, de hecho, más rápido al final. Tiene que tener el mismo impulso con menos masa, por lo que su velocidad es mayor después de la emisión.

Tenga en cuenta que debe tener cuidado con lo que quiere decir con emitir dos fotones con "el mismo impulso". ¿Es esta la misma cantidad de movimiento en el marco de referencia del objeto original o en el marco del laboratorio? Estos dan resultados bastante diferentes.

También tenga en cuenta que tiene algunos conceptos erróneos sobre la relación entre masa y energía: generalmente describimos el fotón como sin masa: tiene energía y cantidad de movimiento pero no masa. En vez de $E=mc^2$ , una fórmula como $E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$ es más aplicable aquí.

La pregunta no es sobre una partícula, sino sobre un objeto complejo (por ejemplo, dos láseres en direcciones opuestas más alguna fuente de energía) que emite dos (o más) fotones a lo largo del eje de movimiento pero en direcciones opuestas.

gilberto · Answer 2

Echa un vistazo a este artículo reciente . Analiza su problema (hacia abajo), utilizando un átomo y un campo cuantificados. La conclusión es: el emisor pierde cantidad de movimiento, pero esta pérdida no está relacionada con una aceleración. Más bien, la masa del emisor cambia.

En el marco de reposo del emisor, no se puede acelerar porque está emitiendo fotones de igual frecuencia en direcciones opuestas. Pero dos detectores de los fotones que se mueven en relación con el emisor verían frecuencias de fotones con desplazamiento Doppler diferente y, por lo tanto, concluirían que el impulso del emisor ha cambiado. De hecho lo ha hecho, pero como no puede haber sido acelerado, el cambio debe venir de la masa.

F = \frac{d pag}{d t} = metro \frac{d v}{d t} + \frac{d metro}{d t} v

$\begin{equation} F=\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}+\frac{dm}{dt}v \end{equation}$

Gracias. Justo como pensé, el punto es mezclar diferentes marcos de referencia. Solo el cambio Doppler se escapó de mi mente de alguna manera.
@Aficionado Sí, y lo más interesante que se señala en el documento es que el cambio de impulso es proporcional a la velocidad inicial, lo que hace que actúe de manera similar a la fricción. Este comportamiento parecería estar en conflicto con el principio de la relatividad, excepto cuando considere que el impulso puede cambiar sin una aceleración. Por lo tanto, el emisor tiene la misma aceleración en cada cuadro (es decir, ninguno).

mateo · Answer 3

No puede usar la mecánica newtoniana para explicar esta descomposición porque, como señaló, conduce a resultados no físicos. Usando la relatividad especial todo tiene sentido: el fotón tiene un impulso de cuatro $p^{\mu}$ dónde $p^0 = E = c|\vec{p}|$ y $p^i$ es el $i$ -ésima componente del impulso (como puede ver, no tengo masa involucrada en estas ecuaciones).

La partícula antes de decaer en el "marco de laboratorio" tiene en cambio $p^0 = m \gamma c^2$ y el impulso $p^i = m\gamma v_i$ . Si la partícula tiene velocidad a lo largo de la $\hat{x}$ eje, entonces $p^1 = m\gamma v$ y $p^2 = p^3 = 0$ .

Usando la ley de conservación de cuatro momentos (es decir, conservación de energía + conservación de momento) tienes:

metro γ C^{2} = | \vec{pag} |_{γ_{1}} C + | \vec{pag} |_{γ_{2}} C

$m \gamma c^2 = |\vec{p}|_{\gamma_1} c + |\vec{p}|_{\gamma_2} c$

metro γ v = {pag}_{γ_{1}}^{1} + {pag}_{γ_{2}}^{1}

$m \gamma v = p^1_{\gamma_1} + p^1_{\gamma_2}$

0 = {pag}_{γ_{1}}^{2} + {pag}_{γ_{2}}^{2}

$0 = p^2_{\gamma_1} + p^2_{\gamma_2}$

0 = {pag}_{γ_{1}}^{3} + {pag}_{γ_{2}}^{3}

$0 = p^3_{\gamma_1} + p^3_{\gamma_2}$

¡La física que obtienes de esto es que los dos fotones no tienen momentos opuestos, ni la misma energía (en el marco del laboratorio)! Además, tiene 6 variables pero solo 4 ecuaciones, lo que significa que no puede predecir la dirección de emisión.

No es un decaimiento, dos láseres bien calibrados que emiten fotones de exactamente la misma energía en direcciones opuestas. Dicho sistema tiene alguna fuente de energía, drenarlo reducirá la energía total del cuerpo (2 láseres + batería), por lo tanto, es masa. También conocido como agua caliente tiene más masa que agua fría.
¡Lo siento! Entendí mal tu pregunta... ahora trataré de responder la verdadera pregunta

ana v · Answer 4

Tome un cuerpo que tiene masa M y velocidad v, tiene un momento inicial Mv. El cuerpo irradia dos fotones.

El pi0 por ejemplo.

de la misma "masa"

la masa de los fotones es cero y es la misma para todos los fotones.

en direcciones directamente opuestas (una en la dirección del movimiento del cuerpo, una en la dirección opuesta).

Esto está mal, no es físico.

Si los fotones van en direcciones opuestas, por definición estás en el centro de masa de la partícula en descomposición. Esto significa un momento inicial cero para la partícula en descomposición.

Si la partícula en descomposición tiene impulso, el ángulo entre los dos fotones será inferior a 180 grados y llevarán el impulso original, teniendo cada fotón p=E/c, es decir, la energía (frecuencia) de los fotones aumenta con respecto a la energía en el marco del centro de masa.

La masa invariable de los dos fotones (es decir, el cuatro vector de la suma de los dos cuatro vectores), será la masa de la partícula original (la masa pi0 por ejemplo) y el sistema lleva el impulso original.

Aquí está el contorno de una descomposición de pi0 en una cámara de burbujas (vaya al índice de pi0 para ver la imagen completa y complicada, y un segundo ejemplo)

Editar después de comentar que es un cuerpo sólido que emite dos fotones en direcciones opuestas:

De nuevo, la masa de cada fotón es cero. Es la energía que describe un fotón y su momento es E/c. para dos fotones en dirección igual y opuesta al cuerpo en movimiento,

E1/c-E2/c será la cantidad de movimiento que falta en la cantidad de movimiento de todo el cuerpo.

Si E1=E2 en el sistema del centro de masa del cuerpo, no se transmite cantidad de movimiento. La energía del cuerpo en el sistema del centro de masa (relativísticamente calculado) será menor que la energía E1+E2. En un marco de referencia en movimiento, el momento de los fotones se desplazará Doppler con respecto al del centro de masa.

@annav Si $E_1=E_2$ en el marco de laboratorio, el impulso del cuerpo no cambia en el marco de laboratorio. Como su energía disminuyó en $E_1+E_2$ , ¿significa que su masa en reposo disminuyó y por tanto la velocidad aumenta?
@leongz Supongo que sí. Si haces el experimento con dos bolas de impulso igual y opuesto dejando un cohete hacia adelante y hacia atrás, también sería lo mismo clásicamente. la masa seria menor el momento conservado y lo mismo...

usuario154997 · Answer 5

Parece que quieres que los dos fotones tengan la misma energía, lo que denotaré por $E_\gamma$ . Entonces la conservación de la energía y la cantidad de movimiento se lee

\begin{aligned} mi & = {mi}^{'} + 2 {mi}_{γ} \\ pag & = {pag}^{'} \end{aligned}

$\begin{align} E &= E' + 2E_\gamma\\ p &= p' \end{align}$

donde las letras con prima significan "después de la emisión". Con la expresión relativista de energía y cantidad de movimiento, esta ecuación se lee

\begin{aligned} (MI) & metro γ & = {metro}^{'} γ^{'} + 2 {mi}_{γ} \\ (PAG) & metro γ v & = {metro}^{'} γ^{'} v^{'}, \end{aligned}

$\begin{align} m\gamma &= m'\gamma' + 2E_\gamma \tag{E}\\ m\gamma v &= m'\gamma'v', \tag{P} \end{align}$

dónde $\gamma=(1-v^2)^{-\frac{1}{2}}$ y lo mismo para el imprimado. Tenga en cuenta que estoy usando unidades donde la velocidad de la luz $c=1$ .

Ok, después de todo, si llegué tan lejos, es estúpido pretender dejar el resto como un ejercicio. Entonces, divide la segunda ecuación por la primera para obtener

v^{'} = \frac{v}{1 - \frac{2 {mi}_{γ}}{metro γ}} .

$v'=\frac{v}{1-\frac{2E_\gamma}{m\gamma}}.$

Por lo tanto $v'\ge v$ . La igualdad es para el caso en que $v=v'=0$ , es decir, cuando el análisis se realiza en el marco de reposo de la fuente que emite los dos fotones.

Por cierto, tenga en cuenta que $m'< m$ . Eso es debido a la ecuación (P) ya que $u\mapsto (1-u^2)^{-\frac{1}{2}}u$ aumenta con $u$ . Bueno, en el marco de descanso que acabamos de mencionar, este razonamiento no se sostiene, por supuesto, ya que (P) es $0=0$ pero entonces la ecuación (E) se convierte en

metro - {metro}^{'} = 2 {mi}_{γ},

$m-m'=2E_\gamma,$

y desde $E_\gamma>0$ , todavía tenemos $m>m'$ .

¡Tu elección! Quiero decir, ¿dónde quieres que tus dos fotones tengan la misma frecuencia?
Entonces es imposible: $p=p'=0$ , entonces $v=v'=0$ , y $E=E'$ y luego $E_\gamma=0$ .
lo siento me olvidé $m$ podría ser diferente de $m'$ en mi ultimo comentario. Entonces $E=m$ y $E'=m'$ , y $2E_\gamma=m-m'$ .
Equivocado. Si está utilizando gama para transformaciones, también debe aplicar la corrección de desplazamiento Doppler para la energía fotónica en el sistema de referencia del cuerpo (E gama cero). Entonces las ecuaciones se vuelven más complicadas. Si observa las mismas energías de los fotones en diferentes direcciones desde la fuente en movimiento, entonces las energías son diferentes en el sistema de referencia del cuerpo, por lo tanto, el cuerpo está acelerando de verdad.
Estás confundiendo dos fuentes de $\gamma$ . Los que uso son para expresar el impulso y la energía relativistas. Entonces podrías introducir un tipo diferente de $\gamma$ para cambiar marcos. En ese caso, este último normalmente se escribiría $\Gamma$ para evitar confusiones, por ejemplo. El resto de tu comentario me confunde. Decidiste que los dos fotones tienen la misma energía en el marco de la fuente. Entonces listo.
También actualicé el final de mi respuesta para tener en cuenta el uso de ese marco de descanso.
Simplemente tome E gama cero como energías de fotones en el marco de reposo (igual para ambos) y transfórmela para el marco en movimiento. En lugar de E gama - E gama cero más (menos) corrección Doppler dependiente de v (y v') (ya no es igual). Básicamente, también debe aplicar gama a E gama cero.
¿Crees que una transformación de Lorentz cambiará la conservación de la energía-momento?
No la conservación. En la primera fórmula, mγ representa la energía del cuerpo con respecto a algún marco de referencia en movimiento (velocidad v). Sin embargo, Eγ se toma como constante y no lo es. El valor de la energía (incluida la energía de los fotones) depende del sistema de referencia elegido. Si mezcla valores de diferentes sistemas de referencia, termina "rompiendo" la conservación.
$\begin{array}{l}E_\gamma=2\times E_0\times\gamma\\p_\gamma=\;2\times E_0\times\gamma\times v/c\end{array}$
sí, pero no estás usando las mismas notaciones que yo entonces: escribí mi demostración en un marco arbitrario donde $E_\gamma$ es la energía común a los dos fotones. Especializándolo para el resto del marco del cuerpo antes de la emisión como hice un par de comentarios arriba, $E_\gamma$ es entonces lo que ahora llamas $E_0$ . Y cambiaste de nombre $E_\gamma$ a otra cosa que no consideré.
Supongo que formulé la pregunta no lo suficientemente estricta, solo soy un aficionado, profesión original: abogado.
¡No hay problema! Tenga en cuenta que si su objetivo era hacer que el cuerpo fuera más rápido después de la emisión que antes, eso es posible: solo necesita emitir fotones de diferentes energías en el marco de reposo del cuerpo antes de la emisión.

robar · Answer 6

En mi opinión, un diagrama de energía-momento (el análogo de energía-momento de un diagrama de espacio-tiempo) puede aclarar lo que está sucediendo. Lo dibujé en papel cuadriculado girado para que las señales de luz se puedan dibujar fácilmente. Además, los cálculos cuantitativos (a menudo realizados con varias fórmulas de la relatividad) se pueden leer a partir de este diagrama... pero no discutiré este punto ahora.

La conservación de la cantidad de movimiento 4 total requiere:

{\tilde{PAG}}_{F i norte} + \tilde{k_{1}} + \tilde{k_{2}} = {\tilde{PAG}}_{i norte i t}

$\tilde P_{fin}+\tilde {k_1}+\tilde {k_2}=\tilde P_{init}$

Aquí está la situación en el marco de reposo del emisor (observador B).
En este marco, los fotones tienen la misma energía y la misma magnitud, pero un impulso espacial en direcciones opuestas.

El 4-momento final del emisor debe ser menor que el 4-momento inicial del emisor. Sin embargo, tenga en cuenta que la velocidad 4 del emisor (el "momento 4 normalizado", que es el impulso 4 del emisor dividido por la masa en reposo del emisor) no cambia.

Aquí está la situación en el marco de laboratorio (observador A), que observa el emisor moviéndose con $\beta=3/5$ [desde O, cuente 5 diamantes hacia arriba y 3 diamantes hacia la derecha para ver esto].
En este marco, los fotones tienen diferente energía y momento espacial, de acuerdo con el efecto Doppler (con $\beta=3/5$ , el factor Doppler es $k=2$ ).
Por supuesto, cada fotón sigue viajando a la velocidad de la luz.

El fotón directo en el marco del laboratorio tiene
el doble de 4-momentum en comparación con el fotón directo en el marco del emisor.
El fotón hacia atrás en el marco del laboratorio tiene
la mitad del impulso 4 en comparación con el fotón hacia atrás en el marco del emisor.
(Geométricamente, el área del triángulo es la misma en los dos marcos, como requiere una transformación de Lorentz [cuyo determinante es igual a 1]).

Una vez más, vemos que el 4-momento final del emisor debe ser más pequeño que el 4-momento inicial del emisor. Y nuevamente, la 4-velocidad del emisor (que es el 4-momento del emisor dividido por la masa en reposo del emisor) no cambia.

En el marco del laboratorio, el emisor viaja con la misma velocidad espacial después de emitir los fotones.

Como dijo @Luc en el comentario del 12 de octubre, si desea cambiar la velocidad espacial del emisor, emita fotones de diferentes energías en el marco del emisor.

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