Conservación del momento angular en la ecuación de Euler

Considere las siguientes ecuaciones

I 1 d Ω 1 d t + ( I 3 − I 2 ) Ω 2 Ω 3 = k 1 , I 2 d Ω 2 d t + ( I 1 − I 3 ) Ω 3 Ω 1 = k 2 , I 3 d Ω 3 d t + ( I 2 − I 1 ) Ω 1 Ω 2 = k 3 .

De acuerdo con esta ecuación, si el torque externo es cero, entonces ocurren los siguientes resultados

I 1 d Ω 1 d t + ( I 3 − I 2 ) Ω 2 Ω 3 = 0 , I 2 d Ω 2 d t + ( I 1 − I 3 ) Ω 3 Ω 1 = 0 , I 3 d Ω 3 d t + ( I 2 − I 1 ) Ω 1 Ω 2 = 0.

Aquí k 1 , k 2 , k 3 son pares y I 1 , I 2 , I 3 son momentos de inercia.

Usé el método de cuarto orden de Runge-Kutta para predecir la velocidad angular y usé la ecuación de Euler para calcular la tasa de cambio de la velocidad angular (para el método de Runge-Kutta). Pero después de observar el gráfico de energía después de repetir este método durante un período de tiempo (digamos 50000 segundos), la energía no se conservó. Hay una disminución en la cantidad de energía. No estoy seguro de qué está causando esta disminución de energía. ¿El momento angular no se conserva de acuerdo con la ecuación?

¿Sabe si se supone que el método RK que está usando conserva energía si las ecuaciones aproximadas lo hacen?
Probablemente errores de redondeo. Esto es fácil de verificar si reintegra sus EOM utilizando sucesivamente RK de orden superior. Si la pérdida de energía al final de su integración disminuye a medida que aumenta la precisión de su esquema, definitivamente se completa. También es posible que desee realizar un seguimiento de la longitud de su vector de momento angular I 1 2 + I 2 2 + I 3 2 en función del tiempo como otra medida de la precisión de su esquema.
Como señaló una vez Martin Ueding en un comentario aquí , los métodos de Runge Kutt no conservan ni la energía ni el momento angular. Afirma correctamente que esto requiere otros métodos de integración, mencionando métodos simplécticos como el salto de rana
Además, ¿estás variando cada I i de acuerdo con la matriz de rotación?
I = R I b o d y R ⊤
Las ecuaciones anteriores sólo son válidas a lo largo del eje principal de rotación . Si te estás integrando, debes considerar también otras orientaciones.
@ja72. eso es una sorpresa. Estas ecuaciones son siempre válida durante todo el movimiento. Lo importante es que el Ω i están relacionados con los ejes de coordenadas regulares mediante el uso de derivadas temporales de coordenadas como los ángulos de Euler.
@AritroPathak no, no lo son porque están perdiendo los términos cruzados de MMOI (como I X y = ∫ − X y d metro , y I y z = ∫ − y z d metro . Lea la primera parte de en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics) . En coordenadas ortogonales principales 3D, las ecuaciones se muestran en OP . En general, el sistema de coordenadas inerciales no coincide con los ejes principales.
Puede usar cualquier conjunto arbitrario de ejes, para los cuales aparecerían los términos fuera de la diagonal del tensor del momento de inercia. Una buena y completa discusión antigua se da en 'Un tratado sobre la dinámica de un sistema de cuerpos rígidos' de Routh. Como vuelvo a reiterar, esta ecuación poder estar integrado Hay matemáticos como Nigel Hitchin que han trabajado tratando de resolver estas ecuaciones.

Respuestas (2)

El momento angular se conserva en esta ecuación porque se deriva de

d d t L C = ∑ τ

Consulte Derivación de las ecuaciones de Euler para el poste de rotación de cuerpo rígido para obtener más detalles. La derivada del momento angular es cero cuando los pares son cero y por lo tanto L C es constante

Creo que el escenario más probable es que el método numérico no conserve la energía total ni el momento angular. Hay algunos métodos de integración (llamados simplécticos) que conservan esas cantidades y Runge-Kutta no es uno de ellos.

PD. La NASA publicó una solución analítica al problema anterior para algunos casos especiales (consulte este informe en pdf ) y esas soluciones analíticas conservan el momento angular.

Los esquemas de Leapfrog y Velocity-Verlet (también llamado Newmark) son los habituales para los métodos simplécticos.

De hecho, lo comprobé. Por supuesto 50000 segundos depende de su escala de tiempo y de sus valores para ω → . Elegí ( ω 1 ( 0 ) , ω 2 ( 0 ) , ω 3 ( 0 ) ) = ( 2 , 0 , 1 ) y usado I 2 = 2 , I 3 = 1 y variable I 1 . tengo la energía cinética

2 T r o t = ∑ k I k ω k 2
ser conservado hasta el final t = 50 k usando una variedad de métodos. Sin embargo, no confío mucho en algunas características cualitativas de las soluciones numéricas.

Por ejemplo, con I 1 = I 2 = 2 , se debe obtener una precesión simple sobre el tercer eje. Si bien mis esquemas muestran que L 3 = I 3 ω 3 ( t ) es de hecho constante, los otros dos valores de momento angular no permanecen exactamente en un círculo sino que parecen oscilar, como puede ver en la figura, con ω → ( t ) trazado para t = 250 .

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Por otro lado, existe un valor crítico

I 1 C = I 2 2 + I 2 2 4 + I 3 ( I 2 − I 3 ) ( ω 3 ( 0 ) ω 1 ( 0 ) ) 2 .
que separa dos tipos de movimiento. Para mis valores esto resulta ser I 1 C = 2.11803 . Tomando los valores I 1 = 2.08 y 2.12 a cada lado de este valor crítico da "buenas" curvas de ω → ( t ) hasta t = 2500 , como puede ver abajo. La curva azul es muy parecida a la separatriz y se obtuvo usando I 1 = 2.118 ; las curvas roja y negra corresponden a I 1 = 2.08 y 2.12 respectivamente.

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Todos estos se obtuvieron usando Mathematica y forzando el Método a RK de orden de diferencia. 4 . Por lo tanto, sospecho que es probable que su integrador tenga errores.

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