Conservación de energía y medición cuántica

Para un alto grado de precisión, tendría que sondear la partícula con un fotón de alta energía (longitud de onda corta) para que haya mucha energía que pueda entrar en la excitación vibratoria. Después de un golpe tan fuerte, la partícula se extenderá a través de una amplia gama de estados.

Entonces, la energía adicional proviene de una interacción con una partícula sonda y no tiene que ser precisamente igual a la energía de un determinado estado vibratorio.

Querido Nigel, si mides la posición de la partícula y la encuentras en una pequeña región, también cambias su estado.

Como escribiste correctamente, un paquete de ondas localizado (no hablo de un vector de estado de función delta cuya energía cinética promedio sería infinita) puede reescribirse como una superposición lineal de estados propios de energía.

Significa que antes de medir la energía, había una probabilidad distinta de cero para que la energía fuera$(21/2)\hbar\omega$, y este resultado particular finalmente se realizó. No hay violación de la ley de conservación de energía aquí.

Lo que puede molestarle es que la energía final del electrón generalmente no es igual al valor esperado de la energía en el estado anterior a la medición. Seguramente es cierto. Pero no hay ninguna razón por la que debería serlo. El valor esperado no es ningún "valor objetivo" de energía. Es solo un promedio estadístico de muchas posibilidades, y solo algunas de ellas se realizarán, según lo dictan las probabilidades predichas por la mecánica cuántica.

Si lo desea, el proceso de medición viola la "conservación del valor esperado de la energía".

No hace falta decir que esta "violación" no puede utilizarse para obtener ninguna contradicción aguda con la ley de conservación de la energía "real". Solo puede interpretar la energía medida de una "manera clásica" después de la decoherencia, lo que significa que después de que el aparato de medición haya interactuado con los grados de libertad ambientales (que son necesarios para la decoherencia). Si prepara su oscilador armónico más el aparato en un estado cuya energía total esté suficientemente bien definida para revelar la "violación de la ley de conservación del valor esperado", los grados de libertad ambientales inevitablemente estropearán esta precisión.

Pensando en tu pregunta me ha llevado a la siguiente conclusión:

Supongamos que hay una cantidad conservada$Y$, y un sistema aislado$S$. Supongamos también que el aislamiento se levanta temporalmente para medir un observable$\widehat{X}$de$S$. Esta medición se realiza mediante un aparato de medición.$A$. Para simplificar, agrupemos el resto del universo fuera del sistema, incluidos los aparatos y el entorno, en$A$. Supongamos además que tenemos una estructura de producto tensorial entre$S$y$A$para el espacio de Hilbert. Dejar$\widehat{Y}_S$y$\widehat{Y}_A$ser la restricción de$\widehat{Y}$a$S$y$A$respectivamente. Entonces, la suma$\widehat{Y}_S + \widehat{Y}_A$tiene que ser conservado.

Ahora, supongamos$\widehat{Y}_S$y$\widehat{X}$no viaje Veamos qué sucede si además hacemos una suposición muy común en la teoría de la medición de que para los sistemas que comienzan en un estado propio de$X$, una medida perfecta lo dejará en un estado propio de$X$con el mismo valor propio. El espacio de Hilbert de$A$se descompone en espacios propios de un operador puntero$\widehat{P}$tal que después de una medición de un estado propio de$X$,$A$termina en un estado propio de$\widehat{P}$con un valor propio igual al valor propio de$X$.

Como$\widehat{Y}_S$y$\widehat{X}$no conmutar, existe un valor propio de$X$tal que todos los estados propios distintos de cero no son también$\widehat{Y}_S$autoestados. Con todas estas suposiciones en su lugar, un estado inicial de$\sum_n c_n \left| x_n \right\rangle$evolucionará hacia

Pero por supuesto,$\widehat{Y}$genera una simetría, y$\widehat{X}$no es invariante bajo esta simetría. Entonces, para medir$X$, el estado inicial del aparato tampoco puede ser invariante bajo esta simetría. Entonces, no debemos esperar$A$comenzar en un estado propio de$\widehat{Y}_A$. Se espera que el proceso de medición en sí cambie$\widehat{Y}_S$, pero tenemos un cambio compensatorio en$\widehat{Y}_A$.

Lo interesante de esta pregunta es que las respuestas pueden mostrar la Interpretación de QM de su autor. Primero revisemos el orden de los eventos aquí:

1. La partícula se prepara en estado fundamental$\psi_0$(un estado propio de energía)
2. La partícula es la posición medida con X observable (medida-1)
3. La partícula está ahora en un estado propio de posición
4. La partícula ahora se mide Energía (medición-2)
5. La partícula está en estado$\psi_{21/2}$

En este ejemplo se le ha dado energía a la partícula.

En primer lugar, esto es similar a la excitación del electrón de un átomo. Si esto ha sucedido a través de una colisión o absorción de fotones durante cualquiera de las mediciones, entonces la partícula solo absorberá un valor de energía de cuantos enteros.

Sin embargo, dado que el hamiltoniano en este caso es$H=1/2(p^2 + x^2)$, entonces$[X,H]=\hbar p\neq0$. Entonces, el formalista cuántico puede simplemente adoptar la opinión de Copenhague de que, dado que los observables no conmutan, no se pueden dar garantías de que sus valores propios permanezcan iguales después de tal historial de medición. Y no es necesario dar más explicaciones sobre "por qué" más allá de la "fluctuación cuántica" (o "aleatoriedad cuántica" si lo prefiere). Por lo tanto, no existe una "microteoría" que explique de dónde proviene la energía (en este caso, tal vez un impulso adicional en otro caso).

Otras consideraciones: (1) si uno mantiene una filosofía de "variable oculta", entonces este experimento debe explicarse por ese medio. (2) Este experimento tiene similitudes con las explicaciones del vacío cuántico para la emisión espontánea. Si tal modelo pudiera aplicarse aquí, entonces podríamos decir que la partícula ha tenido un resultado aleatorio del vacío cuántico, tal vez mediado por una de las mediciones.

También se supone que cualquier entrelazamiento entre el instrumento de medición y la partícula terminó poco después de la medición como resultado de la decoherencia entre un objeto clásico y uno cuántico.

Una función de onda QM describe un conjunto de medidas, no la única salida de medida. El potencial correspondiente no describe la perturbación debida a la medición. Si solo mide la energía del sistema, será$E_0$, por supuesto, porque mides el estado propio del operador correspondiente.

Pero el operador de coordenadas no conmuta con el hamiltoniano, el estado fundamental no es su estado propio, por lo que obtendrá dispersión en las medidas de coordenadas. Mientras mide las coordenadas, puede introducir una perturbación que cambie el estado inicial. Ahora puede tener una superposición de estados propios de hamiltoniano. No es de extrañar que entonces puedas encontrar energías diferentes del estado fundamental.

Si entiendo correctamente, la pregunta clave en la publicación superior está en esta oración "la medición-1 que sondeó la posición de la partícula no puede haberle entregado una cantidad precisa de energía".

Ahora, lo que estoy pensando es que, si realmente mides la posición de un sistema (o un componente de un sistema), y luego vuelves a medir la energía de este sistema, ¿realmente obtendrás un espectro discreto de energías (en el caso de un oscilador armónico simple)?

Supongo que no, porque medir la posición puede perturbar el impulso general del sistema, cambiando así la energía de traslación, que tiene un espectro continuo.

Entonces, en el caso del oscilador armónico, después de medir su posición, la función de onda no será una superposición de las funciones propias discretas, sino una integral de un continuo de funciones propias, que incluyen los casos con energías de traslación distintas de cero.

Pero creo que el punto aquí no es realmente sobre "medición de posición". Quiero decir, tal vez la medición de posición es solo un mal ejemplo. Se podrían idear otros tipos de medidas para colapsar un estado propio de energía en uno superposicional (de niveles de energía discretos). Si la medición se diseña con el cuidado suficiente, creo que el proceso mediante el cual se transfiere una cantidad discreta de energía hacia o desde el sistema que se mide se volverá muy claro.

Leí la pregunta original y las seis respuestas anteriores. No creo que estas respuestas respondan directamente a la pregunta. Hay transferencia de energía del aparato a la partícula, lo que equivale a una perturbación incontrolable del momento, indicada también por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg en el contexto de la medición de la posición de un electrón usando un haz de luz que se enfoca en él. La pregunta original es, ¿cómo se realiza la transformación de energía durante la medición? O, ¿cómo fluye la energía del aparato a la partícula? O, ¿hay algún mecanismo dinámico? Hasta donde yo sé, NO hay respuesta dentro del formalismo actual de la mecánica cuántica.