Conjunto Cardinalidad de los Universos

Una manera fácil de calcular la cardinalidad del "multiverso" (que no tiene un modelo concreto único detrás de él) sería pensar en cómo se etiquetan los "universos" dentro del multiverso. Suponga que su multiverso se basa en diferentes opciones para algún parámetro físico$\Lambda$, y cada universo tendría su propio escenario para$\Lambda$. Entonces, la cardinalidad del multiverso estaría determinada por la cardinalidad del conjunto de opciones posibles para$\Lambda$. Por lo tanto, si tan sólo pudieras tener$\Lambda \in \{1,2,7\}$, entonces claramente hay tres universos posibles; si solo puedes tener$\Lambda \in \{1,2,3,\dots\}$, entonces hay infinitos universos contables, etc.

Las consecuencias físicas de la cardinalidad de este conjunto están determinadas, por supuesto, por si los universos interactúan o no. Tanto en la interpretación de muchos mundos de QM como en el paisaje de cuerdas como imágenes de multiverso, no hay interacciones entre los universos, por lo que en esos casos no hay consecuencias físicas.

La interpretación de muchos mundos asigna realidad a todos los resultados posibles de una medición del estado cuántico. Entonces, considere, por ejemplo, un experimento de Stern-Gerlack en un solo electrón, midiendo en un eje fijo, obtiene dos resultados para este experimento, por lo que en la interpretación de muchos mundos, una descripción completa de la realidad incluiría dos mundos. Este ejemplo se puede entender más concretamente en términos de operadores de medida y estados propios de esos operadores de medida. Aquí nuestro experimento de Stern-Gerlack es un operador de Pauli, y el operador de Pauli tiene dos estados propios. Entonces podemos decir que una medida crea tantos mundos como estados propios tiene. Dado que cada medida compone el número de mundos, la cardinalidad del multiverso debe ser al menos tan grande como la cardinalidad del mayor conjunto posible de estados propios pertenecientes a una medida posible. Supongo que la medida con el mayor número de estados propios sería una medida de un sistema con un espacio de Hilbert de dimensión infinita, como la medida de posición, que tendría un número infinito de estados propios. No puedo afirmar saber cuál debe ser exactamente la cardinalidad de ese infinito, pero si me pidieran que lo adivinara, diría que es incontablemente infinito.

¿Contable? De ninguna manera.

Sin duda es por lo menos$\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$(la cardinalidad del continuo).

El número de estados posibles del sistema más simple imaginable en un solo universo es al menos$\mathfrak{c}$, ya que las coordenadas espaciales son números reales.

Hay muchas nociones fantasiosas (y por lo tanto de moda) de que el espacio y/o el tiempo pueden ser discretos, pero ninguna con evidencia que las respalde.

Me imagino que la cardinalidad del multiverso es de hecho solo Aleph, al igual que la cardinalidad de$n$-reales dimensionales ($\mathbb{R}^n$) sigue siendo solo$\mathfrak{c}$para cualquier$n$.

La respuesta es, depende". Si está hablando del conjunto de universos distinguibles, entonces para calcular la cantidad de universos que podrían producirse, haría algo como los cálculos de entropía en "Límite superior universal en la relación de entropía a energía para sistemas acotados":

http://old.phys.huji.ac.il/~bekenste/PRD23-287-1981.pdf

Si observa algún miembro particular del conjunto de universos distinguibles, tiene un número de valor real que representa la probabilidad de obtener ese resultado.

Entonces, la cardinalidad del conjunto de universos es un número finito o la cardinalidad de los números reales.

Aquí hay una posibilidad matemática simplista.

Si hay$T$pasos de tiempo y$K$posibles elecciones que se pueden hacer en cada punto, entonces hay$K^T$diferentes multiversos que pudieran existir.

Llevado al límite,$T$debe ser igual a la cardinalidad del continuo$\mathfrak c$. El colapso de una función de onda cuántica podría contener valores propios que también cuentan en el continuo$\mathfrak c$, por ejemplo, para los operadores de posición e impulso (y no para el operador de energía, que podría ser contablemente muchos). Esto da una respuesta ingenua: hay como máximo$\mathfrak{c}^{\mathfrak c}$multiversos. Probablemente haya conjeturas / cálculos más educados, por ejemplo, considerando la falta de coordenadas de tiempo global en el universo.