Definición de un tensor

Bien, veo el problema. Contrariamente a mi segundo comentario, es posible formular espacios tensoriales completos sin hacer referencia a un espacio dual. Sin embargo, este es un enfoque de la vieja escuela. En última instancia, es equivalente a la formulación más moderna, pero esta última es conceptualmente más limpia.

Demostraré el enfoque moderno y luego mostraré cómo es equivalente al enfoque dado en su libro.

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Considere un espacio vectorial$V$sobre los números reales. Si elegimos una base$\{e_i\}$, podemos expandir cualquier vector$\bf{X}$como

$${\bf{X}}= X^i e_i\ \ , \ \ X^i\in\mathbb{R}$$

el doble espacio $V^*$consiste en los mapas lineales de$V$a$\mathbb{R}$.$V^*$es un espacio vectorial también, por lo que podemos elegir una base$\epsilon^i$y expandir cualquier vector dual (también conocido como covector )$\omega$como

$${\boldsymbol{\omega}} = \omega_i \epsilon^i\ \ , \ \ \omega_i \in \mathbb{R}$$

Elegimos canónicamente la base dual tal que$\epsilon^i(e_j) = \delta^i_j$. Por lo tanto, la acción de un vector dual sobre un vector se puede escribir así:

$$\boldsymbol\omega(\boldsymbol X) = \omega_i \epsilon^i\big(X^j e_j\big) = \omega_iX^j\epsilon^i\big(e_j\big) = \omega_i X^j \delta^i_j = \omega_iX^i$$

donde notamos que podemos tirar de los componentes$X^i$porque los covectores son mapas lineales.

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A$(p,q)-$tensor es un mapa multilineal que come$p$covectores y$q$vectores y escupe un número real. por ejemplo, un$(1,2)-$tensor${\bf{T}}$es un mapa

$${\bf{T}} : V^* \times V \times V \rightarrow \mathbb{R}$$

entonces tenemos

$${\bf{T}}(\boldsymbol\omega,\boldsymbol X,\boldsymbol Y)={\bf{T}}(\omega_i \epsilon^i,X^j e_j,Y^k e_k) = \omega_i X^j Y^k {\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k) \equiv \omega_i X^j Y^k T^i_{\ j\ k}$$

dónde

$${\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k)\equiv T^i_{\ \ j\ k}$$

son los componentes de${\bf{T}}$en la base elegida.

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Un tensor métrico ${\bf{g}}$es un simétrico, definido positivo$(0,2)-$tensor. Una elección en métrica induce un producto interno entre vectores:

$$X\cdot Y := {\bf{g}}(X,Y) = {\bf{g}}(X^i e_i,Y^j e_j) = X^i Y^j {\bf{g}}(e_i,e_j) = X^i Y^j g_{ij}$$

La definición positiva de${\bf{g}}$permite definir un isomorfismo entre$V$y$V^*$. Dado algún vector$\boldsymbol X$, definimos su covector dual$\boldsymbol{\tilde X}$al alimentar$\boldsymbol X$a la métrica y dejando abierta la segunda ranura:

$$\boldsymbol{\tilde X} := \boldsymbol g(\boldsymbol X,\bullet)$$

entonces

$$\boldsymbol{\tilde X}(\boldsymbol Y) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)$$

Podemos encontrar los componentes de$\boldsymbol{\tilde X}$alimentándolo con el vector base$e_i$:

$$\tilde X_i = \boldsymbol{\tilde X}(e_i) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,e_i) = \boldsymbol g(X^j e_j,e_i) = g_{ji} X^j = g_{ij}X^j$$

(donde hemos utilizado el hecho de que$\bf g$es simétrico, entonces$g_{ji}=g_{ij}$).

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Me detendré aquí, ya que ahora estamos equipados para responder el espíritu de su pregunta. cada vector$\bf X$tiene un covector "compañero" único, que he denotado$\boldsymbol{\tilde X}$. Sin embargo,$\bf X$vive en el espacio vectorial mientras$\boldsymbol{\tilde X}$vive en el espacio dual, por lo que son objetos enfáticamente diferentes .

De manera similar, dada una$(1,1)-$tensor$\bf T$, podemos definir un$(0,2)-$tensor$\bf Q$por la siguiente prescripción:

$$\boldsymbol Q(\boldsymbol X,\boldsymbol Y) := \boldsymbol T(\boldsymbol{\tilde X}, \boldsymbol Y)$$

de donde se sigue que en forma de componentes,

$$Q_{ij} = g_{ik} T^k_{\ \ j}$$

$V$y$V^*$son isomorfas entre sí, y el enfoque de la vieja escuela es tratar ese isomorfismo como igualdad. Es decir, identificamos$\bf X$y$\boldsymbol{\tilde X}$como el mismo objeto , y considerar su "expansión de vector" y "expansión de covector" como expresiones diferentes de la misma cosa.

De manera similar, consideramos los tensores definidos anteriormente$\bf T$y$\bf Q$como siendo el mismo objeto, que toma diferentes formas dependiendo de si (i) lo alimentamos con vectores que se expanden en la misma base, o (ii) lo alimentamos con vectores que se expanden en diferentes bases (!?).

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Para mí, esto es terriblemente desordenado y complicado. Es mucho más ordenado tratar$\bf X$y$\boldsymbol{\tilde X}$como socios que viven en diferentes espacios. Si hacemos eso, entonces los tensores$\bf T$y$\bf Q$se convierten en diferentes mapas que, sin embargo, están relacionados entre sí a través del isomorfismo entre$V$y$V^*$.

Desde este punto de vista, la "subida y bajada de los índices" es un abuso de notación, en lugar de decir

$$X_i = g_{ij}X^j$$ realmente deberíamos decir eso $$\tilde X_i = g_{ij} X^j$$

y reconocer que el$\tilde X_i$'arena$X^j$'s son los componentes de diferentes objetos.

Este enfoque ya es más claro, pero lo es aún más cuando consideramos abstracciones de alto nivel como los paquetes tangentes a las variedades, las formas diferenciales, las acciones de grupos en marcos de coordenadas, conexiones y transporte paralelo, etc.

Sin embargo, el enfoque de la vieja escuela no está mal y, siempre que comprenda con mucha precisión lo que está haciendo, es libre de hacer lo que quiera.

Antes que nada una pequeña corrección: el tensor$T^i{}_{jk} = T(\textbf{e}^i, \textbf{e}_j. \textbf{e}_k)$mencionaste es un mapa multilineal$T: V^* \times V^2 \to \mathbb{R}$no de$V^3$.

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Ahora la respuesta. Dado un espacio vectorial$V$, un (q, p)-tensor (q-contravariante p-covariante tensor) es, como dijiste, un mapa$T:(V^*)^q \times V^p \to \mathbb{R}$con componentes en cierta base:

$$T(\textbf{e}^{i_1},...,\textbf{e}^{i_q}, \textbf{e}_{j_1}, ...,\textbf{e}{}_{j_p})=T^{{i_1}...{i_q}}{}_{{j_1},...,{j_p}}$$ Con $V^*$es el espacio dual de $V$.

Puedes juntar q y p, simplemente diciendo que$T$es un ($q+p$)-tensor de rango, pero solo si tiene algo que mapea naturalmente$V$en su dual ("naturalmente" significa "de una manera que no depende de su base"). Por lo general, este objeto es una métrica (un producto interno), y con él puede subir y bajar los índices; por eso no se debe poner un índice sobre otro (ver como escribí las componentes del tensor).

Se puede demostrar (teorema de Riesz-Frechet) que, dado un vector$x\in V$siempre hay una (y solo una) forma$f_x \in V^*$que actúa de la siguiente manera:

$$f_x(y) = x \cdot y \quad \forall y \in V$$

donde el punto es el producto interior. Esto establece la identificación natural$x \leftrightarrow f_x$. De hecho, este es el hecho que permite el uso de la famosa notación de Dirac en la mecánica cuántica.

En consecuencia, si los componentes$x$en cierta base$B$son$x^i$, lo que decimos es que los componentes de$f_x$en la base dual$B^*$son$x_i$. Son objetos diferentes pero la métrica los relaciona.

Un tensor general$T$es una combinación lineal de productos tensoriales de vectores y formas. Entonces, si tiene un objeto que conecta vectores y formas, puede usarlo en estos productos para producir un tensor diferente$T'$("$T$" con algunos índices bajados y otros subidos). Sin embargo, usamos la misma notación para los componentes de$T$y$T'$y no$T_{ijk}$y$T'{}^i{}_{jk}$, por ejemplo. Omitimos el número primo porque si calculamos las componentes de$T'$siempre podemos cambiar de esta descripción a la otra usando la métrica:$T_{ijk} = g_{li} T'{}^l{}_{jk}$. Así que simplifiquemos la notación y llamemos$T'{}^l{}_{jk} \equiv T{}^l{}_{jk}$. En la práctica, decimos que$T$y$T'$no son tensores diferentes (¡en realidad lo son!) y son solo "versiones" diferentes de la misma "cosa".

Es exactamente lo que hacemos cuando decimos componentes "contravariantes" o "covariantes" de un vector. Estrictamente hablando, sólo las contravariantes son componentes del vector, las demás son componentes de la forma asociada en el espacio dual. Pero los identificamos.