Confundido acerca de los índices del tensor de Ricci

En una introducción al libro GR, el tensor de Ricci se da como:

R m v = ∂ λ Γ m v λ − Γ λ σ λ Γ m v σ − [ ∂ v Γ m λ λ + Γ v σ λ Γ m λ σ ]

He llegado al punto en que puedo resolver un símbolo de Christoffel dado, pero todavía tengo problemas para resolver el tensor anterior en su totalidad (algebraicamente hablando). Si no me equivoco, R m v debería terminar siendo un m X v (es decir, 4x4) matriz al igual que el tensor de energía-momento en el otro lado de las ecuaciones de campo. En la representación anterior σ es claramente un índice ficticio para resumir, y puedo ver cómo λ es también un índice ficticio en el primer término. Pero el λ s en los otros términos parecen ser índices libres, que luego introducirían dimensiones incompatibles en las operaciones matriciales. Agradezco si alguien puede señalar el error de mis formas.

¿Por qué pensaste que el λ son gratis?
Porque pensé que los índices ficticios tenían que repetirse en símbolos separados. Ahora está claro.

Respuestas (1)

Cada término contiene una λ en el superíndice y uno en el subíndice, por lo que sumas sobre esos. Los únicos índices que no aparecen tanto en superíndice como en subíndice en el mismo término son m y v .

Ejemplo:

Γ λ σ λ Γ m v σ = Γ 00 0 Γ m v 0 + Γ 01 0 Γ m v 1 + ⋯ + Γ 10 1 Γ m v 0 + ⋯

Tenga en cuenta que todos los índices contraviantes/covariantes deben escribirse utilizando la palabra clave '\phantom' de LaTeX Γ λ λ σ ξ ; no deben estar directamente uno encima del otro estrictamente hablando. Aunque es un dolor escribir en este contexto... :]
Sí, dado que el punto que quiero dejar claro sin un posicionamiento explícito de los índices, no me molesté con eso. Es lamentable que no tengamos un paquete de notación tensorial para MathJax.
@Killercam +1 Gracias. Es bueno saberlo porque todos los libros que he consultado colocan los índices de Christoffel uno encima del otro, y me preguntaba si no deberían estar espaciados en sus propias columnas de acuerdo con la lógica de, por ejemplo, el Índices del tensor de Riemann.
@Killercam Vale la pena señalar que muchos autores no compensan los índices en los símbolos de Christoffel, ya que en realidad no son tensores sino solo colecciones de coeficientes. Cualquier ambigüedad en las formas reducidas se puede definir fácilmente, por ejemplo Γ λ m v = gramo λ σ Γ m v σ . En cualquier caso, la forma mucho más conveniente de compensar índices de TeX es adjuntar los índices de compensación a estructuras en blanco, como en \Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}. Componer GR se volvió significativamente más fácil una vez que dejé de usar \phantom. ;)
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