Con el potencial V(x)=ax6V(x)=ax6V(x)= ax^6, ¿el nivel de energía cuantificado EEE depende de qué potencia de nnn?

Para grande$n$, la aproximación semiclásica es válida y para estados ligados podemos usar la condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld:

$n = \frac{1}{h}\oint p dq$, dónde$n$es el número cuántico principal,$h$, la constante de Planck,$q$, la posición y$p$, el impulso en la trayectoria clásica.

En nuestro caso debido a la conservación de la energía:

$\frac{p^2}{2m}+ax^6 = E \rightarrow p = \sqrt{2m(E-ax^6)}$,

dónde$m$es la masa y$E$, la energía total.

Por sustitución, obtenemos:

$n = \frac{1}{h}\int_{-(E/a)^{1/6} }^{(E/a)^{1/6} }\sqrt{2m(E-ax^6)} dx$,

donde la integración es entre los dos puntos de inflexión. Escalando la variable de integración:

$x =( \frac{E}{a})^{1/6}y$

Obtenemos:

$n = \frac{\sqrt{2m}}{h}{(\frac{E}{a})}^{2/3}\int_{-1 }^{1} \sqrt{(1-y^6)} dy$.

Por lo tanto:

$E \propto n^{3/2}$

Puede que no lo sepas, pero el número cuántico "n" tiene una interpretación clásica como la variable de acción "J". La variable de acción mide el área en el espacio de fase de la órbita clásica,

Y la correspondencia entre J y n se conocía antes de que se desarrollara la teoría cuántica. Es fácil calcular la forma de la órbita en el espacio de fase para cualquier valor de J, y averiguar cuál es la dependencia entre E y J, clásicamente. Esto resolvería su problema en el límite de correspondencia, en el límite de n grande.