Comprensión matemática: intuiciones y demostraciones

Creo que cogsci me puede ayudar a estudiar un problema de filosofía de las matemáticas. Considere este caso (adaptado de M. Detlefsen, intuicionismo brouweriano ):

Lucy tiene el tipo de comprensión de una determinada materia matemática S que normalmente asociamos con el maestro matemático. John tiene una excelente habilidad para manipular los axiomas de S de acuerdo con medios lógicos.

Problema: ¿hay una diferencia significativa entre el conocimiento de S de Lucy y el conocimiento de S de John? ¿Es cierto que el segundo tipo de conocimiento no implica el primero? ¿Es cierto que Lucy entiende S hasta cierto punto significativo? John no entiende S hasta cierto punto significativo.

¿Hay trabajos en cogsci que me puedan ayudar a estudiar este problema?

Encontré un artículo relativamente antiguo (Arbib, Una perspectiva piagetiana sobre las construcciones matemáticas ), pero nada más.

Muchas gracias.

Si esto se toma como un argumento lógico, entonces está completamente roto. Claramente le falta alguna premisa en la línea de "Los maestros matemáticos tienen la capacidad de manipular axiomas". En su estado actual, no insinúas nada sobre Lucy y John, ni puedes inferir nada dados los detalles que has proporcionado.
@Izhaki Un maestro matemático no manipula los axiomas como lo hace usted en un sistema formal (por ejemplo, el cálculo al estilo de Hilbert) para deducir teoremas. Incluso cuando comunican su resultado a otros, no proporcionan una deducción en un sistema formal. Por lo general, los maestros matemáticos ni siquiera saben cómo usar un sistema formal. La mayoría de ellos ni siquiera saben qué es un cálculo de estilo Hilbert. Sin embargo, muchos trabajos sobre la base de las matemáticas se basan en sistemas formales. Entonces, uno puede imaginar los dos agentes cognitivos anteriores y preguntarse si su dominio epistémico de S es diferente y cómo.
@Izhaki Una nota más: no estoy presentando ningún argumento. Solo estoy dando un escenario y pregunto si hay trabajo en cogsci que se ocupe del problema de caracterizar la comprensión diferente de S por parte de Lucy y John. Gracias.
La capacidad de "manipulación de axiomas" tiene su relación con la cognición. Por sus comentarios, también entiendo que los maestros matemáticos no utilizan dicha herramienta. Perdona mi ignorancia, pero en cualquier caso creo que ayudará a otros si explicas la forma en que trabajan o piensan los maestros matemáticos.
@Izhaki. He sido intencionalmente vago sobre la forma en que trabajan los maestros matemáticos, porque es donde necesito la ayuda de cogsci. A menudo dicen que se basan en visualizaciones, intuición, conjeturas, construcciones, técnicas de prueba más o menos estándar, etc. Y a menudo dicen que la simple manipulación de símbolos (ni siquiera la mera demostración de teoremas) no proporciona comprensión. ¿Qué es eso que hacen exactamente y qué es eso que llaman comprensión? Aquí es donde pido ayuda a cogsci.

Respuestas (2)

Creo que aquí es importante tener claro lo que John es realmente capaz de hacer. Si todo lo que es capaz de hacer es manipular correctamente los axiomas de S , esto en realidad no le llevará muy lejos, al menos por dos razones. (Esta es también la razón por la cual los programas de computadora que prueban teoremas tienen limitaciones significativas).

1) Supongamos que le damos a John un teorema específico P de S y le pedimos que demuestre P. ¿Puede hacerlo? No necesariamente. Hay un conjunto de pasos lógicos basados ​​en los axiomas que prueban P, por lo que parece estar al alcance de John. Pero un problema aquí es el de la complejidad computacional . Si John procede simplemente, sin dirección, tratando de derivar nuevos hechos de S a partir de los axiomas con la esperanza de llegar finalmente a P, el número de caminos que puede recorrer aumentará exponencialmente y puede llevar más tiempo que la vida. del universo para que llegue al resultado. Los maestros matemáticos en el campo de S, por otro lado, tienen intuiciones agudas sobre lo que probablemente sea un camino efectivo para una demostración de P.

2) Los matemáticos hacen más que resolver problemas abiertos previamente especificados. También tratan de generar nuevos problemas importantes. Un matemático que no sea muy bueno en las demostraciones formales puede, sin embargo, hacer una contribución significativa al conjeturar correctamente un resultado muy interesante (incluso si alguien más necesita demostrarlo).

1) y 2) se superponen un poco; por ejemplo, un maestro matemático puede conjeturar un lema L en S que es extremadamente útil para probar P.

Si John no es capaz de hacer 1) y 2), entonces no está claro que sea realmente muy hábil en S. Si lo es, entonces parece que tal vez no sea tan diferente de Lucy después de todo; en algún lugar tiene las intuiciones correctas. Tal vez Lucy sea más consciente de sus intuiciones, lo que tal vez lleve a una discusión sobre cómo es experimentar esas intuiciones. Pero muchas de las intuiciones de los maestros matemáticos no provienen del procesamiento consciente; ciertas formas de proceder les parecen correctas , pero no necesariamente pueden explicar por qué.

Algunos maestros matemáticos han escrito sobre el proceso de invención matemática y sobre algunos métodos de razonamiento plausible en matemáticas. Aquí hay algunas referencias:

Jaques Hadamard. Un ensayo sobre la psicología de la invención en el campo matemático.

Jorge Polia. Matemáticas y Razonamiento Plausible Volumen I: Inducción y Analogía en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton, 1954.

Jorge Polia. Matemáticas y Razonamiento Plausible Volumen II: Patrones de Inferencia Plausible. Prensa de la Universidad de Princeton, 1954.

Henri Poincaré. “Intuición y Lógica en Matemáticas”. En: El valor de la ciencia. Disponible aquí: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html .

También puede encontrar algunos artículos interesantes de David Tall, cuyo campo de investigación es el pensamiento matemático: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/

Como sugiere el presente, en este artículo puede encontrar poco sobre manipulación simbólica y mucho sobre cómo abordar problemas matemáticos nuevos y complejos con analogía, intuición y otras herramientas cognitivas similares.

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