Comprensión del espacio vectorial

• "El espacio vectorial es un término conciso cuando se refiere a cualquier objeto matemático (funciones, matriz de columna/vector, etc.) que se puede multiplicar por un número y sumar". Lo que se puede "multiplicar por un número y sumar" no es el espacio vectorial, sino los elementos de un espacio vectorial.

• "un campo si es un conjunto que nos permite hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones Y si hacerlo te mantendría dentro de ese conjunto". Un conjunto no permite hacer "sumas, restas,...", un conjunto es solo una colección de elementos. Un campo es un conjunto.$X$Y dos operaciones$+,\cdot:X \times X\rightarrow X$satisfaciendo ciertas condiciones. Lo que puede pasar es que tengas un campo$(X,+,\cdot)$y me pregunto si un subconjunto$Y\subseteq X$está cerrado bajo$+,\cdot$(eso es,$a,b\in Y\rightarrow a+b,ab\in Y$). el mismo conjunto$X$puede soportar diferentes operaciones no equivalentes$+,\cdot$, por lo que ser un campo no es una propiedad de$X$, sino una estructura que consideramos sobre ella.

• Un campo es una estructura dada antes del espacio vectorial, es decir, un espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un campo. Generalmente arreglas un campo$F$y luego considerar un espacio vectorial$V$sobre ese campo. El campo$F$son aquellos elementos que multiplican los vectores de$V$. Por ejemplo,$\mathbb R^2$suele ser un espacio vectorial sobre$\mathbb R$(el clásico$\alpha(v_1,v_2)=(\alpha v_1,\alpha v_2)$), pero también puede ser un espacio vectorial sobre$\mathbb C$(como$(a+ib)(v_1,v_2)=(av_1-bv_2,av_2+bv_1)$), debe especificar en qué campo actuar$\mathbb R^2$.

Ahora si$V$es un espacio vectorial sobre un campo$F$y tienes un subcampo$F'\subseteq F$, entonces puedes hacer$V$en un espacio vectorial sobre$F'$(simplemente restrinja la multiplicación por escalar a$F'$). Entonces$F$actúa como un campo "principal", del cual extrae un campo más pequeño$F'$sobre el que se considera la multiplicación escalar. En el ejemplo anterior, una vez que le das la estructura a$\mathbb R^2$de un espacio vectorial sobre$\mathbb C$, entonces puede restringir a cualquier subcampo de$\mathbb C$(Por ejemplo$\mathbb R,\mathbb Q$,etc)

Editar un campo $F$es algo como$\mathbb Q$, es un conjunto$F$con una adición$+$(que es una función$F\times F\rightarrow F$) y una multiplicación$\cdot$. La multiplicación sobre un campo es una forma de multiplicación escalar (cada campo es un espacio vectorial sobre sí mismo, como$\mathbb R$es un campo vectorial real, es decir, un campo vectorial sobre$\mathbb R$). Un espacio vectorial sobre$F$es, igualmente, un conjunto$V$con una adición$+:V\times V\rightarrow V$(diferente de la adición en el campo$F$, toma por ejemplo$\mathbb R^2$con suma por componentes$(v,w)+(v',w')=(v+v',w+w')$) y una "multiplicación escalar"$\cdot:F\times V\rightarrow V$cumpliendo ciertas condiciones (como$a(v+w)=av+aw$para todos$a\in F,v,w\in V$, etc). Por lo general, la "multiplicación escalar" se reserva para espacios vectoriales, mientras que la "multiplicación" se reserva para campos. Lo importante es que la suma y la multiplicación en un conjunto$F$no son necesariamente únicos, es decir, el mismo conjunto$F$puede tener otras operaciones en él convirtiéndolo en un campo. Entonces, un campo (y de manera similar un espacio vectorial, o cualquier otra estructura algebraica en realidad) no es simplemente un conjunto, sino un conjunto con algunas operaciones fijas.

Finalmente, "cerrado por debajo" generalmente significa que cierto conjunto contiene los resultados de ciertas operaciones realizadas en sus elementos. En general, si tengo un conjunto$X$y cierta operacion$f:X^n\rightarrow X$(como sumas o multiplicaciones, o algo más general), es decir que un conjunto$Y\subseteq X$está "cerrado bajo$f$" si

$$f(a_1,\cdots,a_n)\in Y,\text{ for all }a_1,\cdots,a_n\in X$$ Eso es cuando$f$tiene elementos de$Y$como "entrada", devuelve un elemento de$Y$. Por ejemplo$\mathbb Z\subseteq \mathbb Q$es cerrado bajo la suma y la multiplicación ($\{0\}$también está cerrado bajo la multiplicación y la suma),$\{-1,1\}$se cierra bajo la multiplicación, pero no la suma y$\{-1\}$no está cerrado ni en la multiplicación ni en la suma.