Un enfoque matemático puro para pensar en vectores

Hay varios conceptos erróneos en el OP sobre el uso de la palabra "vector" por parte de matemáticos y físicos, e incluso sobre qué son los escalares y los tensores. Para mantener esto como una descripción concisa, estaré enlazando a explicaciones más completas.

En primer lugar, cualquier cosa que haya escuchado sobre magnitud y dirección fue solo un intento de ayudar a los escolares a evitar ciertas falacias sin tener que explicarles todo el concepto de un espacio vectorial . El objetivo es asegurarse de que entiendan que, por ejemplo, el momento de una partícula apunta en cierta dirección pero su cantidad de energía no.

En general, los vectores no son tuplas . Es cierto que algunos conjuntos de tuplas satisfacen los axiomas de un espacio vectorial si define la aritmética de la manera habitual, pero los vectores son mucho más generales que ese caso, como muestran los ejemplos discutidos anteriormente. Lo que es cierto en general es que, si un espacio vectorial$V$tiene una base de la forma$\left\{e_i|i\in I \right\}$, entonces cada vector en$V$es expresable como una combinación lineal de$e_i$. Dependiendo de los detalles, esta "combinación lineal" puede ser una suma o una integral. Armado con esto, los coeficientes utilizados pueden proporcionar una tupla de representación de vectores (aunque en algunos casos se necesitan números infinitos), pero el vector es un objeto independiente. El mapa no es el territorio . De hecho, hacer que un terreno se vea diferente mediante la creación de un nuevo mapa que se rota en relación con uno anterior es un caso especial de lo que a veces se denomina cambio de base . Ya que estás familiarizado con$\mathbb{R}^n$, daré un ejemplo sencillo. los vectores$\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\,\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)$comprenden una base de$\mathbb{R}^2$, pero puedo rotar un mapa 2D en un ángulo$\theta$porque$\left(\begin{array}{c} \cos\theta\\ \sin\theta \end{array}\right),\,\left(\begin{array}{c} \sin\theta\\ -\cos\theta \end{array}\right)$comprenden una base también.

También debo señalar de pasada que, mientras que en algunos contextos la palabra "base" simplemente significa una elección de$\left\{e_i|i\in I \right\}$para los cuales esto se puede hacer, la definición adecuada requiere que la combinación lineal solo necesite usar una cantidad finita de los$e_i$. Muchos espacios vectoriales de interés que no tienen dimensión finita cumplen, no obstante, algunas condiciones técnicas adicionales que permiten que el significado menos estricto de "base" sea útil. Sin embargo, la famosa afirmación de que dos bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad se refiere a la definición de solo combinaciones finitas.

Eso es lo que los matemáticos entienden por espacios vectoriales. Un espacio vectorial siempre está "sobre" un campo de escalares. Así como un vector se define como un elemento de un espacio vectorial que a su vez tiene una definición larga, un escalar se define como un elemento de un campo que a su vez tiene una definición larga.

¿O es eso? Hablemos de lo que los físicos realmente quieren decir cuando hablan de vectores. Por un lado, conocen todas las matemáticas que mencioné anteriormente. Por otro lado, también quieren describir la naturaleza en términos de cantidades que se transforman de ciertas maneras convenientes cuando cambiamos de sistema de coordenadas, para ejemplificar " simetrías ". Esto los lleva a definir "vector" de una manera más estricta. Por ejemplo, una cosa que no se les dice a los escolares es que, aunque el momento angular tiene una magnitud y una dirección, no es un vector debido a la forma en que se transforma bajo los reflejos. La distinción en$\mathbb{R}^3$entre vectores y vectores axiales requiere alguna explicación. La confusión es comprensible. La posición y el impulso están "adentro"$\mathbb{R}^3$y son vectores; el momento angular está "en"$\mathbb{R}^3$es un vector axial. La razón es simplemente que ninguna de estas cosas está realmente "en" un famoso conjunto de tuplas, porque no son tuplas en absoluto; son cantidades que admiten una representación tupla. Esa es una similitud que tienen los vectores axiales con los vectores "verdaderos".

Con el desarrollo de la geometría diferencial, nos dimos cuenta de que existe una forma más elegante de hablar de todo esto. En lugar de distinguir entre vectores verdaderos y vectores axiales, podemos distinguir entre vectores contravariantes y covariantes, siempre que nuestra definición de vector de "ambos tipos cuentan" signifique "tensor de rango uno". cantidad$T^{\alpha_1\cdots\alpha_p}_{\beta_1\cdots\beta_q}$con$p,\,q$enteros no negativos se llama tensor de rango$p+q$y ordenar (o escribir )$\left(p,\,q\right)$iff una transformación de coordenadas del espacio-tiempo de$x^\mu$a$x^{'\nu}$obedece

$$T^{'\alpha_1\cdots\alpha_p}_{\beta_1\cdots\beta_q}=\sum_{\gamma_1\cdots\gamma_p \delta_1\cdots\delta_q}\frac{\partial x^{'\alpha_1}}{\partial x^{\gamma_1}}\cdots\frac{\partial x^{'\alpha_p}}{\partial x^{\gamma_p}}\frac{\partial x^{\delta_1}}{\partial x^{'\beta_1}}\cdots\frac{\partial x^{\delta_q}}{\partial x^{'\beta_q}}T^{\gamma_1\cdots\gamma_p}_{\delta_1\cdots\delta_q}.$$ (En realidad, nunca escribimos el signo de suma; damos por sentado que cualquier índice que aparece dos veces, una como subíndice y otra como superíndice, se suma sobre todos los valores posibles. En relatividad, existe un valor de este tipo para cada dimensión del espacio-tiempo. ) Un tensor de rango $0$es un escalar y no cambia bajo transformaciones de coordenadas. Un tensor de rango positivo se llama covariante si $p=0$, contravariante si $q=0$y mezclado en caso contrario. Los tensores mixtos tienen $p\geq 1$y $q\geq 1$, así que ten rango $\geq 2$.

Algo que parece un tensor en virtud de sus índices puede no transformarse de la manera correcta para ser realmente un tensor. (Por supuesto, si no hay ningún índice, algo "parecerá un escalar", pero podría no serlo). Aquí hay tres ejemplos importantes .

Un vector probablemente no sea solo una tupla de escalares a menos que su definición de "tupla" sea muy amplia (y probablemente también necesite asumir algunos extras como AC). En general, un espacio vectorial es bastante más abstracto.

Un primer ejemplo fácil de un espacio vectorial donde los vectores no son realmente "tuplas" para la mayoría de las definiciones de lo que es una "tupla" serían funciones de$[0,1]$a$\mathbb{R}$(o de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$). Puede demostrarse fácilmente que se trata de un espacio vectorial, pero en realidad no consta de tuplas.

también obtienes$m\times n$matrices sobre un campo arbitrario$K$que será un espacio vectorial. Puede tomar polinomios en múltiples incógnitas. Se puede demostrar que todos estos tienen la estructura de espacios vectoriales, pero están bastante lejos de parecerse mucho a las tuplas.

Lo único que te permite pensar en los espacios vectoriales como "tuplas" de elementos del campo base que nunca mencionas. Ese es el hecho de que si se cumple el axioma de elección, entonces todo espacio vectorial tiene una base (tenga en cuenta que esto es en realidad y iff, por lo que cada espacio vectorial que tiene una base es una declaración bastante fuerte). Si luego permite que sus tuplas tengan cardinalidades arbitrarias, realmente podría pensar en los vectores como tuplas, pero para muchos espacios vectoriales, ese tipo de enfoque perderá mucho empuje. Para las matrices, realmente tienes que reordenarlas de alguna manera, para los polinomios, creo que las tuplas pueden ser realmente extrañas. Dado que obviamente puede tomar el enfoque de monomios unitarios triviales, pero su base también podría ser mucho más compleja que eso. Y para funciones reales puedes '

No está nada mal imaginar que los vectores son "tuplas" (y que los 2 tensores son tuplas de doble índice, o tuplas de tuplas, etc.). Esto brinda acceso computacional, ya que la multiplicación escalar es solo por componentes, y la suma de vectores es por componentes.

Pero, como en otras respuestas y comentarios, no siempre es deseable elegir una base para un espacio vectorial (descrito de otra manera). Es decir, decir que un espacio vectorial es un espacio de tuplas es haber elegido una base, y las tuplas son las colecciones de coeficientes. (No me preocuparé por el Axioma de Elección aquí...)

Una razón por la que no siempre es deseable elegir una base de inmediato es que algunos mapas lineales naturales entre espacios vectoriales se entienden mejor en términos de bases que solo se aclaran después de un trabajo preliminar. Entonces, elegir una base primero es a veces/a menudo agregar ruido, si pensamos que tenemos que convertir explícitamente de la base dada a la/una base que exprese más claramente el comportamiento de algún operador lineal. Esto es especialmente así para varios espacios naturales de funciones.