Comprensión de la energía relativista y del momento

Después de discutir con algunas personas, me parece que la forma de definir cantidades como "energía" y "momento" en general es tratarlas como "cantidades conservadas" bajo algunas condiciones especiales. Las definiciones originales como "producto de masa y velocidad" y "capacidad para realizar trabajo"... funcionan bien en la mayoría de los casos, pero está claro que, como definiciones generales, son inapropiadas.

Bajo esa luz, tenía sentido para mí redefinir el impulso. Usando un argumento simple. Analizamos el choque elástico entre dos bolas en dos marcos: el marco de reposo y el marco de las dos bolas. Estaba claro que el impulso, si lo definimos simplemente como$mv$, no se conservaría en ambos marcos.

Por lo tanto, tenía mucho sentido redefinir el impulso. Tenemos:

$$\mathbf{p}= \gamma(v) m \mathbf{v}$$ Se puede demostrar que esta definición la convierte en una cantidad conservada sin fuerza en ambos marcos y, por lo tanto, se adhiere al principio de relatividad.

Ahora, llegando a la energía:

Se puede demostrar que (usando la definición recién definida de momento), que el KE apropiado debería ser:

$$\mathrm{KE}= \gamma mc^2- mc^2$$

Ahora los libros de texto simplemente se mueven$mc^2$al otro lado, y luego afirmar que "$\mathrm{KE}+mc^2$define la energía total", por lo que obtenemos$E=\gamma mc^2$.

Mi problema con todo esto es nuevamente, ¿cómo se debe definir con precisión la energía? Por qué era$\mathrm{KE}+mc^2$elegido como la definición de energía total$E$? ¿Es porque, como dije antes, se puede demostrar que es una cantidad conservada bajo algunas condiciones?

Además, ¿por qué era necesario considerar$mc^2$como un poco más de energía en esa ecuación? Me parece que podemos arreglárnoslas simplemente usando el recién definido$\mathrm{KE}$todo el tiempo en ecuaciones de conservación de energía y eso también funcionará...