Comprender el tensor y la covarianza

Un poco de contexto: cuando lee la relatividad especial, las reglas que aprende no garantizan que una expresión "tensorial" bien formada en cualquier sistema de coordenadas defina el mismo tensor, sino solo en cualquier marco inercial (y estos están relacionados con cada uno). otro específicamente por transformaciones de Lorentz). Solo cuando pasa a la relatividad general, normalmente aprende a escribir expresiones que son válidas en cualquier sistema de coordenadas (esto es lo básico de la geometría diferencial). Las ecuaciones de Maxwell que escribe son covariantes de Lorentz , pero generalmente no covariantes .

Como ya ha adivinado (¡impresionantemente!), la presencia de derivados suele ser el principal problema. Para obtener algo generalmente covariante, debe reemplazar los derivados$\partial_\alpha$por derivadas covariantes $\nabla_\alpha$.

Sin embargo , los derivados en realidad no son el problema en su caso particular. Las derivadas covariantes entran en juego en un espacio-tiempo curvo o cuando se trata de transformaciones de coordenadas no lineales, ninguna de las cuales tiene. Por lo general, no pienso en la "covarianza de Galileo", así que no confíes en mí al 100%, pero creo que las ecuaciones que escribas se conservarán bajo una transformación de Galileo. Lo que se romperá es la relación entre$F$y$G$, a saber, la ecuación

$$G^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta}.$$ El$\epsilon$el tensor se define explícitamente en términos de la métrica del espacio-tiempo$g_{\alpha\beta}$, que es un concepto que no tiene sentido en el espacio-tiempo galileano, por lo que esta ecuación no puede conservarse mediante transformaciones galileanas.