Comparación de dos colecciones de 4 tuplas usando combinatoria - versión más complicada

Mi problema es mostrar que 2 colecciones de 4 tuplas desordenadas -$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$- son lo mismo.

Defino una colección de objetos como un conjunto, en el que se permiten múltiples entradas del mismo objeto. Por eso$A = <(1,1,1,1),(1,1,1,1)>$sería una colección válida de 4 tuplas. Para las colecciones$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$para ser iguales, necesitan contener los mismos elementos con las mismas multiplicidades. Por ejemplo$<a,a,b> = <a,b,a>$, pero$<a,b> \neq <a,a,b>$.

Mis colecciones contienen 4 tuplas desordenadas$(k,m,n,o)$. Dos 4 tuplas no ordenadas son iguales si y sólo si contienen los mismos elementos con las mismas multiplicidades, independientemente del orden. Por ejemplo,$(1,2,1,3) = (1,1,2,3)$, pero$(1,2,1,3) \neq (1,2,2,3)$.

Problema inicial:

Dejar$\mathbf{A}$ser una colección de todas las 4 tuplas desordenadas$(k,m,n,o)$tal que se cumplen las siguientes condiciones.$k$es un entero$k \geq 1$.$m,n,o$son enteros distintos de cero (positivos o negativos). Más importante,$k+m+n+o = 0$.

Dejar$\mathbf{B}$ser una colección de todas las 4 tuplas desordenadas$(-k,m,n,o)$tal que se cumplen las siguientes condiciones.$k$es un entero$k \geq 1$.$m,n,o$son enteros distintos de cero (positivos o negativos).$-k+m+n+o = 0$.

Para aclarar, la forma en que se construyen esas colecciones es la siguiente. Primero, que estén vacíos. Luego, recorre todas las combinaciones ordenadas posibles$k,m,n,o$. Si tal combinación satisface las condiciones necesarias, agregue 1 instancia de la tupla de 4 pulg. Por lo tanto, este proceso puede dar como resultado que las tuplas de 4 idénticas estén presentes más de una vez en la colección.

El objetivo es mostrar que$\mathbf{A} = \mathbf{B}$. Como se mencionó anteriormente, deben contener los mismos elementos con las mismas multiplicidades.

Observaciones: sé que no son iguales, ya que puedo encontrar un contraejemplo. Sin embargo, quería plantear este problema como una introducción inicial a mi problema actual.

Mi problema: todo lo que he escrito anteriormente es válido, excepto la definición de$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$.

Ahora, defino$\mathbf{A}$como una colección de todas las 4 tuplas desordenadas$(k,m,n,o)$tal que$k$es un entero$k \geq 1$,$m,n,o$son enteros distintos de cero (positivos o negativos), y$k+m+n+o = 0$. Sin embargo, la 4-tupla se inserta en la colección con multiplicidad$k = |k|$(es decir$|k|$-veces). Por ejemplo,$\mathbf{A}$Podría incluir$|a| \times (a,b,c,d)$y$|b| \times (b,a,c,d)$, que son 4 tuplas iguales, pero con diferentes multiplicidades. Esos términos pueden luego agruparse con el fin de compararlos con$\mathbf{B}$.

La colección$\mathbf{B}$se define de la misma manera, excepto que las tuplas son$(-k,m,n,o)$y la condición$-k+m+n+o=0$. Las multiplicidades de los términos son$|k| = -k$.

Para aclarar, deja$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$estar vacío al principio. Luego reviso todo lo posible$k,m,n,o$, y añadir$(k,m,n,o)$y$(-k,m,n,o)$respectivamente, y lo haré$|k|$tiempos (multiplicidades). Quiero mostrar eso ahora,$\mathbf{A}$y$\mathbf{B}$contienen los mismos elementos.

Son lo mismo: he escrito un programa que compara los términos hasta cierto límite en$k,m,n,o$. Sin embargo, me gustaría tener una prueba.

Bonus: Sea la multiplicidad de una tupla$(k,m,n,o)$ser$|k|^N$para el número entero N (incluido 0) (en lugar de$N=1$considerado anteriormente). Demuestra que solo para$N=1$ $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Observación: recientemente hice una pregunta aparentemente similar y más simple ( Comparación de dos conjuntos de 4 tuplas usando combinatoria ). Sin embargo, no creo que pueda aplicar su solución a este caso.