Sea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,20,30,40,50}A={1,2,3,4,5,6,7,8 ,9,0,20,30,40,50}A= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,20,30,40,50\}. 1. ¿Cuántos subconjuntos de tamaño 2 hay? 2. ¿Cuántos subconjuntos hay en total?

Los comentarios ya han señalado esto muy rápidamente, pero tal vez pueda dar una explicación de por qué funcionan.

$1$) El comentario de André Nicolas ya ha respondido que hay$\binom{14}{2}$subconjuntos de tamaño$2$. Esta notación es el coeficiente binomial . Eso es,

$$\begin{align}\binom{14}{2} &= \frac{14!}{(14-2)!2!}\\ &= \frac{14 \times 13 \times \color{red}{12} \times \color{red}{11} \times \color{red}{10} \times \color{red}9 \times \color{red}8 \times \color{red}7 \times \color{red}6 \times \color{red}5 \times \color{red}4 \times \color{red}3 \times \color{red}2 \times \color{red}1}{(\color{red}{12} \times \color{red}{11} \times \color{red}{10} \times \color{red}9 \times \color{red}8 \times \color{red}7 \times \color{red}6 \times \color{red}5 \times \color{red}4 \times \color{red}3 \times \color{red}2 \times \color{red}1)(2 \times 1)}\\ &=\frac{14 \times 13}{2}\\ &= 91. \end{align}$$ Esto es correcto porque hay $14$elementos en su conjunto, y deseamos elegir $2$de ellos cada vez.

$2$) El comentario de Ethan Hunt ya ha respondido que hay$2^n$subconjuntos, incluido el conjunto vacío y el conjunto completo. Para encontrar todos los subconjuntos de un conjunto, tomamos el conjunto potencia del conjunto. Es fácil probar que la cardinalidad del conjunto potencia es$2^n$, dónde$n$es el número de elementos del conjunto. Entonces, en su caso, hay$2^{14} = 16384$subconjuntos

El número total de subconjuntos de tamaño$2$es$\binom{14}{2}$. Para entender esto, trate de ver cuántas formas hay de elegir dos elementos distintos del conjunto.

Para la segunda parte usando la idea similar de la parte anterior, hay$\frac{14}{k}$subconjuntos con tamaño$k$. Entonces la suma total es:

$$\sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n} = \sum_{n=0}^{14} \binom{14}{n}(1)^{14-n}(1)^{n} = (1+1)^{14} = 2^{14}$$

como señaló Andre, hay$\binom{14}{2}$maneras de elegir catorce elementos eligiendo dos. llamamos a esto 14 elige 2. es igual a$\frac{14!}{(12!)(2!)}$echa un vistazo a Coeficiente binomial para más

la segunda parte. se logra sumando$\binom{14}{n}$de$n = 0$a$n = 14$. También es el conjunto de potencia ver Conjunto de potencia y tiene$2^{14}$elementos.

¿Cuántos subconjuntos de tamaño$2$¿hay?

Colocar$A$tiene$14$elementos. Al seleccionar un subconjunto de tamaño$2$, tenemos$14$opciones para el primer elemento y$13$opciones para el segundo elemento. Así, a primera vista, parece que tenemos$14 \cdot 13$subconjuntos posibles. Sin embargo, el orden en que se seleccionan los elementos no importa. Seleccionando el elemento$1$y luego el elemento$2$da como resultado el mismo subconjunto que seleccionar el elemento$2$y luego el elemento$1$desde$\{1, 2\} = \{2, 1\}$. Dividiendo por el$2! = 2$órdenes en los que se pueden seleccionar dos elementos da como resultado

$$\frac{14 \cdot 13}{2}$$ subconjuntos con dos elementos.

En general, si deseamos formar un subconjunto de$k$elementos de un conjunto de$n$elementos, tenemos$n$opciones para el primer elemento,$n - 1$opciones para el segundo elemento,$n - 2$opciones para el tercer elemento, y así sucesivamente hasta que nos quedamos con$n - (k - 1) = n - k + 1$opciones para el$k$elemento. Por lo tanto, hay

$$n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)$$ maneras de hacer una selección ordenada de $k$elementos. Sin embargo, lo mismo $k$Los elementos del subconjunto se pueden seleccionar en $$k(k - 1)(k - 2) \cdots 1 = k!$$ pedidos. Así, el número de subconjuntos de tamaño $k$que podemos seleccionar de un conjunto con $n$elementos es $$\frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1)(k - 2) \cdots 1} = \frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)}{k!}$$ Multiplicando numerador y denominador por $(n - k)!$rendimientos $$\frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - k + 1)(n - k)!}{k!(n - k)!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ El número $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ es el número de subconjuntos de $k$elementos que se pueden seleccionar de un conjunto con $n$elementos.

Por lo tanto, el número de subconjuntos del conjunto$A$es

$$\binom{14}{2} = \frac{14!}{2!12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{2 \cdot 1 \cdot 12!} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 91$$ como Andre Nicolas y otros han indicado.

¿Cuántos subconjuntos hay en total?

Un subconjunto de un conjunto$S$con$n$elementos está determinado por los elementos que incluye. Al formar un subconjunto, tenemos dos opciones para cada uno de los$n$elementos, incluir el elemento en el subconjunto o no incluirlo en el subconjunto. Por lo tanto, un conjunto$S$con$n$elementos tiene$2^n$subconjuntos

Desde que se estableció$A$tiene$14$elementos, tiene$2^{14}$subconjuntos

Si bien no sería práctico enumerar todos$2^{14} = 16,384$subconjuntos de conjunto$A$, podemos verificar que el conjunto$\{1, 2, 3\}$tiene$2^3 = 8$subconjuntos Ellos son

$$\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}$$