¿Cómo tomar el producto interno parcial entre los estados del producto tensorial y el estado GHZ?

Estoy intentando resolver unos problemas en los que 3 personas (Alice, Bob y Charlie) comparten 3 fotones enredados en el estado$|GHZ\rangle$y Alice y Bob realizan una medición conjunta en$|GHZ\rangle$. Debo encontrar cuál es la probabilidad de medir algún otro estado$|\psi_{AB}\rangle$es y en qué estado se proyecta el fotón de Charlie, asumiendo una medición en una base que incluye el estado$|\psi_{AB}\rangle$.

Creo que puedo resolver esto tomando el producto interno parcial$\langle\psi_{AB}|GHZ\rangle$para producir algún vector$|\phi\rangle \in \mathbb V_C$, donde la magnitud al cuadrado de$|\phi\rangle$da la probabilidad de medirlo y normalizar$|\phi\rangle$da el estado sobre el que se proyecta el fotón de Charlie.

Para hacer esto, necesito ser capaz de tomar el producto interno de un vector en$\mathbb V_A \otimes \mathbb V_B$con un vector en$\mathbb V_A \otimes \mathbb V_B \otimes \mathbb V_C$. Entiendo cómo tomar un producto interno parcial entre dos vectores cuando el primer vector es un vector local, pero no estoy seguro de cómo hacerlo en casos como estos cuando ambos vectores existen en espacios de producto tensorial. He estudiado mi libro de texto por un tiempo, pero no pude entender completamente el método, pero intenté la primera parte de la pregunta, donde$|\psi\rangle = |\Psi^-\rangle$con mi comprensión de cómo funciona el producto interior parcial. ¿Es esto correcto, y si no, qué he malinterpretado?

Donde estoy pasando de la línea 2 a la 3 porque, desde$|H_AV_B\rangle$es perpendicular a$|H_AH_B\rangle$,$\langle H_AV_B|H_AH_BH_C\rangle = 0|H_C\rangle$Por lo tanto, la probabilidad de que Alice y Bob midan$|\Psi^-\rangle$es$0$