¿Cómo tiene sentido una teoría de perturbaciones en la teoría cuántica de campos?

Un esbozo de la filosofía:

• Paso uno: Introducir un regulador. Todo es finito.

• Paso dos: Configure la expansión perturbativa. Este es un paso puramente algebraico, donde no existe la noción de "esto es pequeño, esto es grande". La serie es una serie de potencia formal , en el estricto sentido matemático .

• Paso tres: Renormalizar los observables. Ajustar los coeficientes del Lagrangiano, en función del parámetro regulador, para que todo observable sea finito en el límite físico. Las renormalizaciones residuales (finitas) son en principio arbitrarias y pueden determinarse mediante alguna prescripción (física o no física). Una vez realizada la renormalización, todos los términos de la serie son finitos y, si lo desea, puede eliminar el regulador. El resultado final es una serie de potencias formales perfectamente saludable, donde todos los términos son finitos y están bien definidos.

• Paso cuatro: ¿Es buena la serie? En una amplia clase de teorías, observamos que los primeros órdenes en la teoría de la perturbación de hecho disminuyen en magnitud a medida que aumenta el orden. Consideramos la serie asintótica y lo llamamos un día. Si los diferentes términos no disminuyen, declaramos que la teoría no interactúa débilmente y recurrimos a métodos no perturbativos.

Cada paso está bien definido y es consistente. Si desea una serie de potencia formal ab initio que omita los pasos de regularización + renormalización, debe trabajar con alguna formulación en la que no haya divergencias, como la formulación causal de QFT. Aquí, los diferentes términos de la serie de potencia formal se calculan sin ambigüedades a partir de los vértices del Lagrangiano, pero de tal manera que todas las integrales son convergentes desde el principio.

Ya sea que configure su teoría en un marco manifiestamente finito, o use uno donde se requieren los pasos de regularización + renormalización, el resultado de la teoría de la perturbación es siempre una serie de potencia formal, donde no se requiere noción de convergencia. El parámetro de perturbación no tiene valor numérico, por lo que no tiene sentido afirmar que el$(n+1)$el término es menor que el$n$el uno Es un procedimiento puramente algebraico. El$(n+1)$El término viene después del$n$º término porque tiene una potencia más del parámetro de perturbación, no porque sea de menor magnitud.

La serie de potencias formal puede reformularse como una serie asintótica dando al parámetro de perturbación un valor numérico, pero no hay garantía de que la serie vaya a ser útil de alguna manera. No se sabe a priori si la serie se va a comportar numéricamente bien. De hecho, normalmente espera que comience a crecer en algún orden en la teoría de la perturbación, por lo que el mejor de los casos es que este orden de punto de inflexión sea grande, por lo que sus predicciones son significativas.

Por lo tanto, para resumir: la serie de perturbaciones tiene sentido porque es un proceso algebraico: la serie es una serie de potencia formal, sin noción de convergencia. A veces la serie es útil, a veces no lo es. Pero el marco es consistente de cualquier manera.

La divergencia se debe a un mal punto de partida para establecer la teoría; vea mi artículo '' Renormalización sin infinitos - un tutorial ''.

No surgen problemas con la expansión a la constante de estructura fina cuando uno hace todo con el debido cuidado matemático, como en la teoría de la perturbación causal. Vea mi reseña sobre la teoría de la perturbación causal .

Quizás una forma más sencilla de dar sentido a la teoría de la perturbación (en el contexto de la QFT habitual, no de las formulaciones causales) es entender que el procedimiento de renormalización descrito ya por AccidentalFourierTransform termina haciendo el acoplamiento (el coeficiente del término de interacción en su Lagrangiano( s)) una función de alguna escala de energía, convirtiéndola en un acoplamiento en funcionamiento. Esta escala de energía al mismo tiempo controla dónde es aplicable su teoría, al menos con un tratamiento perturbativo. Entonces, al final del día, esto significa que los modos que están mucho más allá de esa escala de energía deben controlarse (regularse) o incorporarse a la teoría a través de alguna prescripción. Esta es una descripción cualitativa muy aproximada del enfoque wilsoniano de la renormalización, vale la pena escribir un capítulo completo con todos los detalles que puede encontrar en el clásico "Introducción a la teoría cuántica de campos" de Peskin y Schröder.

La moraleja de la historia, como se ha mencionado, es que: primero, esas divergencias son un artefacto de algunas de las "violaciones" matemáticas cometidas (específicamente la multiplicación de distribuciones, también conocidas como funciones generalizadas), segundo, esas violaciones pueden corregirse a través de la renormalización. procedimiento (a veces uno tiene que hacer este orden por orden), el tercero puede intentar dar una justificación física a tal procedimiento como en la visión wilsoniana.