¿Cómo surgieron los operadores?

Postulados de la mecánica cuántica

Entonces, ¿la expresión matemática para cada operador individual también es un postulado que no está en la lista, o son derivables de otros axiomas?

La expresión matemática para cada operador individual es una especie de postulado, pero no debe enumerarse. Los postulados definen una teoría (más o menos) completa en la que puedo derivar hechos matemáticos de ella sin saber realmente nada sobre la física.

Uno de los principales problemas es que el sitio al que enlazas ( siguiendo a McQuarrie ) es, en mi opinión, un sitio muy malo para comprender los postulados de la mecánica cuántica tal como se entienden hoy en día y que te permiten profundizar en la teoría. Sus postulados se encuentran entre los primeros postulados de la mecánica cuántica, cuando la gente aún estaba descubriendo los conceptos básicos y las versiones actuales de los postulados que permiten una mejor separación de las matemáticas y la física.

Entonces, permítanme enunciarlos primero en una forma más moderna y explicar las diferencias (estoy copiando algo de esto de Wikipedia ):

• Postulado 1: cada sistema físico está asociado con un espacio de Hilbert complejo separable (topológicamente)$H$con producto interior. Rayos (subespacios unidimensionales) en$H$están asociados con los estados del sistema.

La diferencia de esto con su postulado 1 es que no nos referimos al "espacio". La función de onda es un objeto en un espacio abstracto de Hilbert, no necesariamente algún "objeto"$\psi(x,t)$con posición y tiempo. Su primer postulado ya incorpora la noción de "espacio" y, por lo tanto, necesita tener algunos operadores "fijos" (ver más abajo). Continúemos:

• Postulado 2: Los observables físicos están representados por operadores lineales autoadjuntos en$H$. El valor esperado (en el sentido de la teoría de la probabilidad) de lo observable$A$para el sistema en estado representado por el vector unitario$|\psi\rangle\in H$es$\langle\psi| A |\psi\rangle$.

Aquí vamos. Este es su postulado 2 y 4 combinados. Su postulado 2 es la primera oración, la regla de Born es esencialmente el segundo sistema.

• Postulado 3: El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el producto tensorial del espacio de Hilbert de los espacios de estado asociados con los sistemas componentes.

Ahora, su sistema no tiene tal postulado, si veo correctamente. Si ya operas en el espacio, y dado que cada partícula vive en el mismo espacio, no necesitas este postulado. Sin embargo, es más fácil considerar cada partícula con una función de onda separada en un espacio de Hilbert separado y combinarlas introduciendo los productos tensoriales (para interacciones, ver más abajo). Tenga en cuenta que esto ya no se puede mantener en la teoría cuántica de campos, ya que el número de partículas no se conserva, pero esto no es importante aquí.

De esta manera, puede acomodar fácilmente el giro en la teoría, lo que no es posible con su función de onda.$\psi(x,t)$. Resulta que para describir correctamente el giro, debe introducir otro parámetro del que depende su función de onda. Eso no es muy agradable y significa que sus postulados no funcionarán correctamente. La imagen abstracta no tiene tal problema.

• Postulado 4: La evolución temporal del estado viene dada por una función (débilmente) diferenciable de los números reales, que representan instantes de tiempo, al espacio de Hilbert de estados del sistema. Este mapa se caracteriza por la ecuación de Schrödinger.

Este es su postulado 5. El postulado 6 no está presente; no puede derivarse de este conjunto de postulados, pero si elevamos la mecánica cuántica a la teoría cuántica de campos (tenga en cuenta que la QFT axiomática es problemática), entonces puede serlo, así que no Realmente quiero centrarme en esto y dejarlo fuera.

Operadores en mecánica cuántica

Tenga en cuenta que en esta descripción, ni siquiera definimos "espacio". La teoría anterior describe una teoría muy abstracta. ¿A qué corresponde el operador de posición? Bueno, no lo sabemos, porque ni siquiera sabemos qué significa "espacio". Sin embargo, esto describe una teoría completa y puedo derivar afirmaciones matemáticamente significativas de ella. Por ejemplo, puedo decir que, en virtud del postulado 2 (en principio), el operador de Hamilton en el sistema debe ser un operador autoadjunto, porque la evolución temporal debe preservar$\langle \psi |\psi \rangle$, ya que esto constituye una medida de probabilidad. Sin embargo, ¿qué pasa con la física? La idea de estos postulados es que para cualquier experimento, ahora tienes que especificar:

• el espacio de hilbert
• el operador de hamilton
• los posibles observables

solo si haces eso, puedes comenzar a calcular cualquier cosa. Esto recuerda un poco a la teoría clásica, donde normalmente primero definiría el espacio de fase (tal vez, su sistema está restringido a un movimiento unidimensional como un péndulo. En este caso, su espacio de fase tendría solo una$x$y uno$p$-coordinar). Luego, continúas y defines el Lagrangiano o el Hamiltoniano de acuerdo a tu problema y luego puedes calcular todo. Tienes que hacer lo mismo en la mecánica cuántica.

Esto significa también que, a priori, no hay necesidad alguna de que el cuadrado del operador de cantidad de movimiento esté representado por el laplaciano negativo (por ejemplo). Y, adivina qué, tampoco es cierto en ningún sistema (ver, por ejemplo, sistemas discretos, donde un "operador de momento" todavía puede tener sentido). Hagamos un ejemplo. Suponga que desea considerar una partícula en una caja tridimensional. De alguna manera es intuitivo tomar el espacio de Hilbert$L^2([0,1]^3)$de funciones en la caja$[0,1]^3$. La posición de la partícula debería ser solo la "posición"$x$en el cuadro, es decir, el operador de posición como lo conoce. Sin embargo, hay un teorema matemático que nos dice que todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita (separables) son iguales, por lo que también podría seguir describiendo la partícula en una caja$[0,1]^3$por una función en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R})$. Esto, por supuesto, sería muy contrario a la intuición. ¿Cómo sería el operador de posición? Probablemente diferente al "intuitivo".

Esta es la razón por la que los operadores no están postulados: ¡Son parte de lo que constituye el sistema físico real que desea considerar! La expresión matemática específica de un operador, por lo tanto, no es independiente de cómo elija describir la teoría y, por lo tanto, no forman postulados.

Sin embargo, dados tus postulados aquí nuevamente , esto ya no es cierto. El primer postulado identifica un espacio de Hilbert específico , que básicamente fija (para la mayoría de los sistemas) cómo deberían verse los operadores de posición y momento. ¡Esto podría explicar su confusión y, con suerte, lo ayudará en su búsqueda de comprender mejor la mecánica cuántica!

¿Cómo encontrar y atribuir operadores?

Sin embargo, en realidad no responde a la verdadera pregunta subyacente: ¿Cómo encuentra realmente estos observables? ¿Y qué hay de la historia?

Como dije, para cualquier sistema, tienes que encontrar el triple espacio de Hilbert, hamiltoniano, observables. Todo esto debe de alguna manera provenir de la física. Y aquí es donde su imagen histórica es algo precisa (y esto también se relaciona con el comentario de Mark Mitchison):

Encontrar el espacio de Hilbert, el hamiltoniano y los observables generalmente se realiza por analogía. Su imagen histórica da la idea correcta en el sentido de que cuenta una historia de cómo las personas que provienen de la mecánica clásica llegan a los observables por analogía.

Un ejemplo: Dada una partícula clásica en una caja, puedes escribir una función de Hamilton en mecánica clásica. Para una partícula cuántica, sabiendo que tiene algo como "momento" y "posición", desea tomar un espacio que se parece bastante al espacio de configuración clásico, por lo tanto$L^2([0,1]^3)$me parece muy buena eleccion. Elegir el operador de posición como lo conoce es entonces una elección "natural", sabiendo lo que significa "posición" en la imagen clásica. A continuación, elige el operador de cantidad de movimiento de modo que se cumplan las relaciones básicas de conmutación. Estas relaciones de conmutación se "postulan" a partir de los corchetes de Poisson en la mecánica hamiltoniana. En resumen, resultó que en la mecánica clásica, tenemos$\{p,q\}=1$con el soporte de Poisson, y en mecánica cuántica, tenemos$[P,Q]=i\hbar$con el conmutador. Esto lleva a postular la regla "lleve cualquier soporte de Poisson a un conmutador módulo$i\hbar$", que no está bien definido, pero funciona bastante bien en la definición de operadores para muchos sistemas (esto se llama cuantización canónica ). Esto es "identificar operadores por analogía", pero por supuesto, solo puede funcionar si también el espacio de Hilbert es identificado por analogía.

¿Qué hacer con observables como el espín que no tienen una contraparte clásica? Bueno, en este caso los postulados abstractos son muy poderosos: te permiten simplemente inventar algo. La gente sabía que el espín funciona de manera similar al momento angular, por lo que tiene sentido postular que hay una "parte de espín" en el espacio de Hilbert que es simplemente$\mathbb{C}^2$y las medidas de giro son solo$\sigma_i$, las matrices de Pauli. Dado que los experimentos confirman su elección, todo está bien.

Creo que lo importante a recordar es la diferencia básica entre la descripción cuántica y clásica de un sistema. En la mecánica clásica, lo describe definiendo algún tipo de ecuación de movimiento que le da una posición de todos los constituyentes del sistema descrito en función del tiempo, pero para cada una de estas partículas tiene una función. En el caso cuántico no existe una posición bien definida y el objeto principal es una función de onda o función de estado que describe cuál es la probabilidad de que se produzca una determinada configuración. Cuando actúas sobre este sistema con cualquier tipo de medida, lo cambias para obtener un nuevo estado. Si considera que un estado es un vector, seguramente puede decir que está actuando sobre un vector y luego produciendo uno nuevo. Es lo mismo que hace un operador. El operador principal en una ecuación de Schro es, Supongo, operador hamiltoniano u operador de energía. Se llama así porque sus valores propios son obviamente valores de energía. Después de eso, puedes proceder con el impulso o algo más. Debo señalar que las mediciones definen lo que un operador hace a la base, y por esta descripción, el operador se define id est, se define su acción sobre cualquier tipo de vector. Espero que quede claro lo que quería decir. Si alguien tiene más que decir, yo también estaría agradecido... :-) Espero que quede claro lo que quería decir. Si alguien tiene más que decir, yo también estaría agradecido... :-) Espero que quede claro lo que quería decir. Si alguien tiene más que decir, yo también estaría agradecido... :-)