¿Qué determina qué marcos son marcos inerciales?

Como usted dice, hay una definición operativa perfectamente sensata de un marco inercial: es uno en el que las partículas libres se mueven con velocidad constante. Incluso en relatividad general, tiene sentido hablar de marcos inerciales, pero solo localmente. Para ser precisos, un marco inercial está bien definido solo en una vecindad infinitesimal de un punto del espacio-tiempo, aunque en la práctica es una aproximación sensata extender dicho marco a una vecindad finita, siempre que el tamaño sea pequeño en comparación con cualquier escala de longitud. asociado con la curvatura del espacio-tiempo.

El hecho de que existan marcos inerciales es esencialmente un axioma de la relatividad general. La teoría se basa en la idea de que el espacio-tiempo tiene una cierta estructura geométrica, lo que permite la existencia de geodésicas, a lo largo de las cuales viajan partículas libres. Dentro de un vecindario lo suficientemente pequeño, las geodésicas cercanas a un punto dado "se ven" en una buena aproximación como lo que obtendría en un marco inercial.

Entonces, no hay realmente una buena respuesta a la pregunta de por qué existen los marcos inerciales: es solo parte del marco asumido de la teoría. Pero eso no es exactamente lo que preguntaste. Usted preguntó si hay una razón por la cual un marco dado S es inercial y un marco diferente S' no lo es. Depende de lo que creas que contaría como una razón. Para una geometría de espacio-tiempo dada, las geodésicas están bien especificadas (como soluciones a una determinada ecuación diferencial, o como curvas que tienen ciertas propiedades geométricas). Los marcos de inercia son los marcos que hacen que las geodésicas parezcan líneas rectas. Todo está terriblemente bien definido matemáticamente y es autoconsistente, pero puede que no tenga la sensación intuitiva de una "razón por la que".

Usted menciona la posibilidad de que la razón sea "todas las otras cosas en el universo". Como sabrán, esta idea tiene un noble pedigrí: se conoce con el nombre de principio de Mach. Aparentemente, Einstein estaba bastante enamorado del principio de Mach cuando se le ocurrió la relatividad general, y probablemente se habría sentido muy feliz si la teoría tuviera la propiedad de que los marcos de inercia estaban determinados por toda la otra materia del Universo. Pero la relación de la relatividad general con el principio de Mach es complicada y problemática, por decir lo menos. Por ejemplo, el viejo espacio-tiempo plano de Minkowski es una solución perfectamente válida para las ecuaciones de la relatividad general. Esa solución tiene marcos inerciales bien definidos, aunque no hay nada que los "cause".

En la relatividad especial, se postula que existen los marcos inerciales. No hay nada de malo en este enfoque: son marcos en los que los objetos se moverán a velocidades constantes si no actúan fuerzas sobre ellos. Newton necesitaba más o menos lo mismo para definir las leyes de la mecánica. El punto importante sobre la relatividad (tanto galileana como einsteiniana) es que si un marco es inercial, otros marcos que se mueven uniformemente con respecto a este marco inercial también son marcos inerciales.

Esto es totalmente análogo a las líneas rectas en la geometría euclidiana. (Los marcos inerciales son solo sistemas asociados con observadores cuyas líneas de mundo son líneas rectas en el espacio-tiempo; en realidad es lo mismo en un espacio diferente). Algunas líneas en el papel son simplemente líneas rectas, mientras que otras no lo son. También se podría preguntar cuál es el principio que selecciona qué líneas son rectas. Bueno, el principio es el conjunto de axiomas de la geometría euclidiana. Uno tiene que tener un sistema que nos permita decir cosas sobre los objetos geométricos, y ser capaz de decir si una línea es recta es una de las "herramientas" que tenemos que dar. Si describimos la geometría en coordenadas que llamamos cartesianas, entonces una línea recta viene dada por$ax+by+c=0$.

No hay confusión aquí a menos que alguien intente producirla deliberadamente. Preguntar quién se atrevió a hacer que algunos sistemas fueran inerciales y otros no es análogo a preguntar por qué las matemáticas discriminan algunos números, porque algunos de ellos son primos y otros no. Bueno, las matemáticas discriminan y tienen todo el derecho de hacerlo. Es el propósito mismo de las matemáticas, y de la ciencia, discriminar todo el tiempo. Cada vez que hacemos una pregunta, queremos escuchar la respuesta correcta y discriminar todas las demás respuestas posibles, las incorrectas. La respuesta correcta inevitablemente discrimina: trata varios objetos o números de forma asimétrica. Ninguna matemática o ciencia podría funcionar si alguien exigiera la democracia permanente entre todos.

En relatividad general, el espacio-tiempo es curvo y un espacio-tiempo curvo no contiene marcos de referencia, o sistemas de coordenadas, en los que el espacio parecería plano. Simplemente no es plano. Entonces, no hay marcos inerciales exactos en la relatividad general. En relatividad general, uno solo puede aproximarse a la noción de un sistema inercial. Una posible definición es que un marco inercial es una buena aproximación para los fenómenos locales alrededor de objetos en caída libre. Si un ascensor está en caída libre, puede llamar al marco asociado con este ascensor "inercial".

Sin embargo, aquí en la Tierra, no es la elección habitual. Normalmente decimos que el ascensor en caída libre está acelerando, es decir, no es inercial. Por el contrario, es el ascensor que no cae en reposo el que es inercial, aunque no está asociado con las geodésicas en relatividad general. La elección del ascensor que cae tiene la ventaja de que no tienes que incluir la fuerza gravitacional entre las fuerzas que actúan sobre los objetos dentro del ascensor. Lo único que tienes que incluir es el choque que te matará: no es la caída libre sino la colisión con el suelo lo que se convierte en tu destino. :-)

Si elige que el sistema inercial esté vinculado al elevador en reposo, debe agregar la fuerza gravitatoria atractiva a las ecuaciones para todos los objetos en la Tierra. Por supuesto, eso hará que su descripción de los fenómenos de alta velocidad, etc., sea un poco inexacta. Pero es simplemente el caso de que los espaciotiempos curvos, y los campos gravitatorios no triviales, no pueden ser descritos exactamente solo por la relatividad especial (y sus marcos inerciales). Si esto fuera posible, no necesitaríamos la relatividad general. No es posible y necesitamos la relatividad general para describir la gravedad en el contexto relativista.

En el contexto cósmico más amplio, lejos del campo gravitatorio de la Tierra o el Sol, los marcos de inercia aproximados pueden definirse por los objetos que se mueven libremente. Uno de ellos será el marco asociado con el fondo cósmico de microondas: el marco de esferas tal que el momento total que se esconde en los fotones CMB que cruzan la esfera en cada punto de la superficie de la esfera es cero. El marco CMB determina no solo cuál es la aceleración que se desvanece; también determina cuál es la velocidad de desaparición.

Con este punto de referencia en su lugar, uno puede discutir el movimiento del Sol (y el Sistema Solar), nuestra galaxia, cúmulos de galaxias y supercúmulos a los que pertenecemos, etc. en relación con el marco cósmico CMB. Esas velocidades son algo conocidas. Pero es útil recordar que estas velocidades en realidad no significan que el marco del Sistema Solar esté lejos de ser inercial. Es porque las velocidades uniformes no estropean el carácter inercial del marco de referencia. Entonces, aunque el Sol se está moviendo relativamente al marco CMB, a una velocidad bastante alta, el sistema asociado con el Sol, y correctamente orientado en relación con algunas otras galaxias, etc., es inercial con una gran precisión.

Bueno, desde el punto de vista de un marco de referencia inercial, el momento angular y el momento lineal se conservan, y cuando no estás en un marco de referencia inercial, no se conservan.

Como ejemplo, imagina que estás en una nave espacial acelerando alejándose de un sol solitario. (ignorando un universo en expansión por el momento). En su marco, el sol se está acelerando alejándose de usted, sin nada que provoque tal aceleración. El momento no se conserva de su marco de referencia y, por lo tanto, no está en un marco de referencia inercial.

Espero que esto ayude.

En relatividad general, es el campo gravitatorio el que determina qué marco de referencia local son los marcos de inercia locales. Hablo de marcos "locales" porque, como observó en su pregunta, no hay marcos de referencia inerciales globales en el espacio-tiempo curvo.

El campo gravitatorio está representado por un campo tensorial métrico. Dada una métrica de este tipo, puede trazar las geodésicas temporales a través de cualquier evento. Estas son las trayectorias que localmente maximizan el tiempo propio integrado calculado utilizando la métrica. Cualquier cosa que se mueva a lo largo de tal geodésica está en un marco de inercia local.

El fondo cósmico de microondas no define un marco preferido desde el punto de vista de las ecuaciones de movimiento. Es solo uno de los muchos marcos de referencia que puedes encontrar en el universo mediante la observación. De hecho, hay muchos marcos de referencia diferentes que podrías definir basándote solo en la radiación cósmica de fondo, y solo coinciden en un universo perfectamente homogéneo, pero el universo no es localmente homogéneo. Además, estos marcos de referencia son, en general, la mayoría de los marcos no inerciales.

Las respuestas anteriores han cubierto todos los aspectos filosóficos y epistemológicos, de la cuestión de los marcos de referencia inerciales (IRF), en los que pude pensar. Lo que no se ha mencionado es una construcción física en términos de la cinemática de los cuerpos en movimiento. La referencia para esta respuesta es el artículo de Michael Dickson sobre "Marcos de referencia cuánticos" .

Esta construcción de 106 años se debe originalmente a L. Lange (" Ueber das Beharrungsgesetz ", Leipziger Berichte 37: 333-351, 1885). Lange define un marco de referencia inercial como (citando a Dickson):

un sistema de coordenadas en el que cada triple de partículas libres de fuerza, moviéndose desde algún 'origen' común en direcciones no coplanares, se mueve en línea recta, las partículas viajan distancias mutuamente proporcionales en tiempos iguales. La ley de la inercia es entonces la afirmación de que cualquier otra partícula libre también se moverá uniformemente en dicho sistema de coordenadas.

Una vez que tengamos esta definición de trabajo de un IRF, podemos comenzar fácilmente a ver dónde puede fallar y, por lo tanto, arrojar luz sobre las limitaciones físicas inherentes del concepto. ¿Qué ternas de partículas existentes en la Naturaleza pueden realmente satisfacer esta construcción? Tres esferas duras moviéndose inercialmente en una caja con condiciones de contorno elásticas (billar 3D), tres cuerpos celestes - estrellas o galaxias, tres partículas elementales - cada caso definiendo un IRF en escalas mesoscópicas, macroscópicas y microscópicas respectivamente.

Está claro que cada uno de estos triples puede servir como base para un IRF en un rango finito de escalas. Entonces, esta discusión sugiere inmediatamente que en nuestro Universo que no varía en escala (es decir, con una jerarquía de escalas: estrellas, billares, átomos) no existe ni puede existir ningún IRF único válido en todas las escalas.

Para una discusión más detallada, recomiendo enfáticamente leer el apasionante artículo de Dickson.

En la mecánica ordinaria, los marcos inerciales se definen mediante observadores de velocidad constante. Esto sigue siendo cierto en GTR: experimentalmente, "movimiento inercial" significa "ausencia de aceleración adecuada", que puede medirse con un acelerómetro. El principio de equivalencia significa que, al menos localmente, los sistemas mecánicos actúan como si no hubiera gravedad, por lo que a nivel conceptual, GTR "hereda" marcos de inercia de la mecánica ordinaria, aunque en un sentido más limitado.

Desde la perspectiva formal, es exactamente tan axiomático como la geometría euclidiana que mencionaste anteriormente. Digamos que tiene dos curvas que se intersecan en p en una variedad diferenciable, y en algunas coordenadas tienen la misma derivada en p, por lo que dice que están en la misma dirección. Las clases de equivalencia definen el espacio tangente en p (que también se puede hacer de muchas otras formas), que es un espacio vectorial de "direcciones desde p". En particular, la velocidad de una partícula en algún punto es solo el vector tangente de su curva en el espacio-tiempo (línea de palabra).

Entonces, ¿cómo interpretamos el movimiento de inercia como "que tiene la misma velocidad"? Para hacerlo, necesitamos poder comparar dos vectores entre los espacios tangentes de diferentes puntos . O, equivalente, poder transportar vectores (y en general tensores) de un punto a otro. El dispositivo matemático que nos permite hacer esto se llama conexión y, como muchas cosas en matemáticas, es completamente general, con infinitas conexiones distintas posibles en la misma variedad. El "movimiento inercial" o "geodésico" será simplemente una curva cuyo vector tangente permanece igual cuando se transporta entre puntos infinitesimalmente cercanos.

Aquí es donde entra en juego el postulado de GTR. Suponga que es "compatible con la métrica", lo que significa que el producto interno entre dos vectores tampoco cambia cuando se transporta a lo largo de una curva. Suponga también que la conexión está "sin torsión", que es una forma elegante de decir que si transporta un vector alrededor de un pequeño bucle en el espacio-tiempo de regreso al punto de partida, entonces, en primer orden, no cambia. Resulta que estas condiciones determinan de forma única la conexión. (Por cierto, en el cambio de segundo orden en la operación de transporte de bucle define la curvatura de Riemann).

En otras palabras, GTR postula que las curvas de "velocidad constante" son exactamente las curvas extremas de longitud dictadas por el tensor métrico$g_{\mu\nu}$. Y al igual que los postulados de Euclides, es muy posible tomar una opción contradictoria. Por ejemplo, la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan no tiene los supuestos anteriores, y en sus términos de torsión permite el momento angular de espín y su intercambio gravitacional con el momento angular orbital, a diferencia de GTR.

Sí, hay una respuesta muy simple y realmente buena a esta pregunta, que todos los demás olvidaron mencionar. Y se aplica tanto a la mecánica clásica como a los marcos generales de la relatividad también.

Los marcos de referencia inerciales son aquellos en los que te sientes ingrávido. Esos son los marcos en los que no hay compresión interna en tu cuerpo, y tu camino es una geodésica en el campo.

Todas las diferencias se encuentran dentro de los conceptos de aceleración adecuada y aceleración coordinada . La aceleración adecuada se puede medir de forma absoluta con acelerómetros y giroscopios, mientras que la aceleración coordinada depende del observador.

En términos más precisos, en un marco de referencia inercial, no hay fuerzas de contacto , solo fuerzas de campo . Cuando estás en un marco que solo está sujeto a fuerzas de campo, simplemente caes a través de las geodésicas del campo (como en una trayectoria parabólica en la superficie de un planeta con una atmósfera insignificante, o mientras orbitas un cuerpo celeste), te deslizas sobre las colinas del campo gravitatorio, y por lo tanto su movimiento es inercial.

Por otro lado, cuando te paras en la superficie de un planeta, o estás girando en un tiovivo, las fuerzas de contacto de los cuerpos rígidos que sostienen tu cuerpo hacen que tu movimiento no sea inercial.

También lo he respondido aquí , y he hecho una pregunta intrigante aquí .

Más que las respuestas anteriores me gustaría enfatizar

• un punto de vista físico: refiriéndose por ejemplo a W. Rindler: " Deberíamos, estrictamente hablando, diferenciar entre un marco inercial y un sistema de coordenadas inercial [...] " , junto con
• una presentación operativa explícita (sin pretender "reconocer una partícula libre cuando la ves", o aceptar alguna "caja negra como acelerómetro solo porque lo dice en la etiqueta", sino que indica una base geométrica para definir dichos elementos), en términos de las principales nociones operativas de los experimentos mentales aplicables de Einstein (brevemente: que distintos participantes pueden observarse y reconocerse entre sí, y que cada uno puede juzgar el orden o la coincidencia de sus propias observaciones).

El aspecto de la caracterización de un "marco inercial" que me gustaría considerar primero (por ser ejemplar) se expresa en la continuación de la declaración de Rindler: " Un marco inercial es simplemente un conjunto infinito de partículas puntuales que se encuentran quietas en el espacio relativo el uno al otro " .

Un requisito operativo correspondiente que puede considerarse equivalente a lo que se entiende por " sentarse quietos unos con otros ", o al menos necesario, sería que para tres miembros distintos de " partículas puntuales " cualquiera (${\textbf A}$,${\textbf B}$y${\textbf Q}$) del mismo marco inercial$S$

(1)
participante${\textbf A}$encuentra para cada una de sus indicaciones de señal${\textbf A}_{\mathscr X}$que
${\textbf A}$'s indicación de haber visto que${\textbf Q}$sierra${\textbf A}$'s indicación de haber visto${\textbf B}$sierra${\textbf A}$indicación de${\textbf A}_{\mathscr X}$
es coincidente con
${\textbf A}$'s indicación de haber visto que${\textbf B}$sierra${\textbf A}$'s indicación de haber visto${\textbf Q}$sierra${\textbf A}$indicación de${\textbf A}_{\mathscr X}$.

Otro requisito importante característico de un "marco inercial" es que debe tener miembros que sean " derechos " entre sí.

Un requisito operativo correspondiente (que puede parecer inesperadamente involucrado, pero al menos emplea nociones y operaciones tal como ya se usaron en (1)) sería que para dos miembros distintos de " partículas puntuales " cualesquiera (${\textbf A}$y${\textbf B}$) del mismo marco inercial$S$

(2)
existe (al menos) un miembro adicional${\textbf J}$de marco inercial$S$tal que
existe un miembro${\textbf K}$de marco inercial$S$(no necesariamente distinto de${\textbf J}$) por lo que

• partícipe${\textbf A}$encuentra para cada una de sus indicaciones de señal${\textbf A}_{\mathscr X}$que
  ${\textbf A}$'s indicación de haber visto que${\textbf J}$sierra${\textbf A}$'s indicación de haber visto${\textbf K}$sierra${\textbf A}$indicación de${\textbf A}_{\mathscr X}$
  es coincidente con
  ${\textbf A}$'s indicación de haber visto que${\textbf B}$sierra${\textbf A}$indicación de${\textbf A}_{\mathscr X}$, y

• partícipe${\textbf B}$encuentra para cada una de sus indicaciones de señal${\textbf B}_{\mathscr Y}$que
  ${\textbf B}$'s indicación de haber visto que${\textbf J}$sierra${\textbf B}$'s indicación de haber visto${\textbf K}$sierra${\textbf B}$indicación de${\textbf B}_{\mathscr Y}$
  es coincidente con
  ${\textbf B}$'s indicación de haber visto que${\textbf A}$sierra${\textbf B}$indicación de${\textbf B}_{\mathscr Y}$.

Los requisitos (1) y (2) también tienen relación con la caracterización de miembros del mismo marco inercial$S$como " no dar vueltas unos alrededor de otros ". Por supuesto, se pueden considerar varias formas de reforzar estos requisitos.

El (aparentemente) último requisito surge de considerar las relaciones entre diferentes marcos inerciales: ($S$y$F$): los requisitos de caracterización de un marco inercial particular ($S$, con miembros${\textbf A}$,${\textbf B}$y otros) debe ser lo suficientemente fuerte/específico como para que

(*) si algún otro participante,${\textbf V}$, que no es miembro del marco inercial$S$(debido a requisitos fallidos como (1) o (2) wrt.${\textbf A}$,${\textbf B}$u otros miembros de$S$) pero que "se reunió con ciertos miembros de$S$de paso"
se identifica (sin embargo) como miembro de un marco inercial$F$otro que$S$(debido a${\textbf V}$satisfaciendo todos los requisitos aplicables wrt. participantes adecuados que no sean${\textbf A}$o${\textbf B}$y así sucesivamente)
entonces${\textbf V}$"movido uniformemente" (en línea recta y con "velocidad constante") entre los miembros de$S$;
y todos los demás miembros del marco inercial$F$también, con el mismo valor de "velocidad" que${\textbf V}$.
(Una noción relevante de "paralelismo" o "la misma dirección de movimiento que${\textbf V}$" sólo surge en el curso de la satisfacción del requisito establecido.)

Por supuesto, esto se refiere a una noción de valores de "velocidad" para los cuales aún no se ha establecido una definición operativa aquí. Sin embargo, no debería sorprender que el requisito relacional (*) no pueda satisfacerse si sólo se consideran conjuntos de participantes que son todos " directos " entre sí en el sentido del requisito (2). Esto requiere la consideración de conjuntos de participantes cuyas relaciones geométricas "se extienden en más de una dimensión".

Un requisito suficiente (o más bien, una caracterización más de un "marco inercial" al que se le puede construir una definición operacional correspondiente para que el requisito relacional (*) finalmente pueda ser satisfecho) resulta ser

(3)
que los miembros del mismo marco inercial$S$son " planos " entre sí. (Describir una definición operativa correspondiente es engorroso).

En consecuencia, no es difícil construir ejemplos de conjuntos de eventos con "geometría" ( relaciones causales ) de modo que no contengan ningún conjunto de líneas de mundo similares al tiempo (una para cada participante) en absoluto que estarían estrictamente " sentados el uno al otro ". " y " planos entre sí "; pero sólo hasta cierta aproximación.