¿Transformaciones generales de coordenadas?

Digamos que tengo un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas:

A = ∑ i A i mi ^ i
donde el mi ^ i son la generalización de los vectores unitarios i ^ , j ^ , k ^ de 3 dimensiones.

quiero saber como determinar los componentes A i ′ del mismo campo vectorial A expresado en términos de otro sistema de coordenadas ortonormales:

A = ∑ i A i ′ mi ^ i ′ .
Por supuesto, desde mi ^ i ′ ⋅ mi ^ j ′ = d i j , podemos determinar estos componentes de la siguiente manera:
A j ′ = A ⋅ mi ^ j ′ = ∑ i A i mi ^ i ⋅ mi ^ j ′ .
Ahora pienso calcular mi ^ i ⋅ mi ^ j ′ en general es tedioso. Sin embargo, lo he visto escrito en varios lugares (como en el libro de Arfken, Weber y Harris ) que para las transformaciones de coordenadas lineales, los nuevos componentes se pueden calcular por
A j ′ = ∑ i A i ∂ X j ′ ∂ X i
dónde X i son las coordenadas cartesianas y X j ′ son las nuevas coordenadas. Para transformaciones de coordenadas lineales, esto tiene sentido, pero también lo he visto usado para transformaciones de coordenadas generales, como de coordenadas cartesianas a curvilíneas.

¿Es esto correcto para transformaciones a coordenadas curvilíneas, es decir, no mi ^ i ⋅ mi ^ j ′ = ∂ X j ′ / ∂ X i ? Y, si es así, ¿por qué?

Respuestas (1)

Sin darse cuenta, tropezó con la idea de las coordenadas curvilíneas y su profunda conexión con la geometría diferencial. Esta es la idea básica, en la base { mi i } i puedes escribir el vector de posición de un punto como

X = ∑ i X i mi i

Ahora imagina una transformación suave de coordenadas de la forma X i = F i ( q ) , y su inversa q i = gramo i ( X ) . Los ejemplos incluyen coordenadas esféricas ( q 1 , q 2 , q 3 ) = ( r , θ , ϕ ) , coordenadas cilíndricas ( q 1 , q 2 , q 3 ) = ( R , ϕ , z ) , ... y por supuesto transformaciones lineales.

Ahora, la condición q i = F i ( X ) = C o norte s t define una superficie. Por ejemplo en el caso esférico q 1 = C o norte s t define una esfera, q 2 = C o norte s t define un cono y q 3 = C o norte s t Un avion. Puedes pensar en un punto como la intersección de estas superficies. Y los vectores unitarios asociados a estas nuevas coordenadas como las tangentes a esa superficie a lo largo de cada coordenada.

Entonces, la noción de vector base ahora depende de la ubicación, apuntan en diferentes direcciones dependiendo de dónde se encuentre, pero lo importante es recordar que son tangentes a las superficies. F i ( q ) = C o norte s t . Con esta información a mano, ahora puede construirlos.

mi i ′ ∼ ∂ X ∂ q i

Donde he omitido el signo " = " para enfatizar que necesitaría normalizar el resultado para garantizar | mi i ′ | = 1 . Ahora volvamos a su pregunta, asumiendo que la base { mi i } i es independiente de las coordenadas, por ejemplo, el sistema de coordenadas cartesianas

mi i ⋅ mi j ′ = mi i ⋅ ∂ ∂ q j k ∑ X k ( q ) mi k = ∂ X i ( q ) ∂ q j

Esto es genial, gracias! Solo tengo una pregunta. Si incluye la normalización, mi ^ i ′ = ∂ X / ∂ q i | ∂ X / ∂ q i | , por lo que el resultado final no es una igualdad sino una proporcionalidad. ¿Hay alguna forma de evitar esto?
@ Jean-Jacq No realmente, pero en realidad no quieres. La normalización juega un papel muy importante en la transformación. Define la métrica, que resulta ser un concepto muy fundamental
@caverac: Hola, tu respuesta me ayudó mucho. Quería entender su respuesta en términos de espacios tangente/cotangente e hice una pregunta de seguimiento (a su respuesta) aquí: math.stackexchange.com/questions/3490345/… Estaría muy agradecido si pudiera tener una ¡Mira y ayúdame con eso!
@ShirishKulhari ¡Genial! Feliz de que te haya ayudado. Lo miraré más tarde esta noche.
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