¿Cómo se transforma la simetría de la traducción del tiempo en evolución en el tiempo?

Esto no tiene nada que ver con la mecánica cuántica. Exactamente lo mismo se puede decir en la mecánica hamiltoniana clásica, donde el hamiltoniano es el generador de la traslación del tiempo en el sentido de que el corchete de Poisson$\{H,A\}$(análogo cuántico: el conmutador$[H,A]$) es la evolución infinitesimal de$A$y el flujo de su campo vectorial hamiltoniano asociado $X_H$(análogo cuántico: la exponencial$\mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$) es una traducción en tiempo finito. ¹

Que la traducción del tiempo sea lo mismo que la evolución del tiempo es una tautología. No hay diferencia entre "el tiempo pasa por sí solo" y "un objeto se mueve en el tiempo", al menos no en el formalismo. Tal vez pruebe la analogía con la posición para ver que realmente no hay nada que discutir aquí. Tu puedes decir:

Pero me parece que el$x$en el operador de traducción espacial es la cantidad de traducción espacial que realizo, en lugar de la distancia física que cubro. No veo cómo Ballentine puede alejarse de la idea de que la simetría de las leyes de la naturaleza en el espacio implica que la traducción espacial puede describirse mediante$T_x(x)=exp(ixp)$, a la idea de que este operador se puede aplicar para describir el cambio de posición del estado en el espacio.

En particular, ¿tiene sentido para usted la primera oración de lo anterior? No me importa, "traducción espacial en la que participo" y "distancia física que cubro" son las mismas cosas, y también lo son "traducción temporal en la que participo" y "tiempo físico que pasa". El paso del tiempo es lo mismo que todos los objetos que se traducen en el tiempo, más bien por definición de lo que queremos decir cuando decimos que el tiempo pasa. Cuando la distancia pasa, estás participando en la traducción espacial, cuando pasa el tiempo, estás participando en la traducción del tiempo.

Finalmente, permítanme abordar otra confusión que parece surgir cuando la pregunta menciona "simetría": para esta idea de operadores que generan grupos de un parámetro a través de la exponenciación, es completamente irrelevante si el operador/grupo es una simetría o no . El hamiltoniano genera una traducción temporal ya sea que el sistema sea simétrico en el tiempo o no. El impulso genera traducción espacial sin importar si el sistema es galileano (o Poincaré) invariante o no. No es simetría lo que implica la exponencial de un operador$A$con$[A,B] = \mathrm{i}\hbar$describe las traducciones en$B$, pero pura álgebra a la que no le importa si$\exp(A)$o$\exp(B)$son simetrías de cualquier cosa.

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¹ Aparte, el campo vectorial y el exponencial no son tan diferentes como podría pensarse. En ambos casos hay un álgebra de Lie - de campos vectoriales clásicamente y de operadores hermitianos cuánticamente - que tiene un mapa exponencial a un grupo de Lie (posiblemente de dimensión infinita) - el grupo de difeomorfismos (quizás simplectomorfismos) clásicamente y el grupo de operadores unitarios cuánticamente.

También estoy leyendo Ballentine y tenía exactamente esta pregunta. Agregué una recompensa, pero ahora estoy satisfecho con la siguiente explicación. ¡Sin embargo, felizmente otorgará la recompensa si alguien lo explica más claramente!

Aquí está mi comprensión de la lógica utilizada para llegar a la ecuación 3.38: para modelar las dependencias temporales del valor observable$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$, tenemos la libertad de hacer el vector de estado$\langle \Psi |$dependiente del tiempo y$A$independiente del tiempo (la imagen de Schrödinger), o viceversa (la imagen de Heisenberg). En la imagen de Schrödinger, definimos $|\Psi(t)\rangle$ser el vector que se puede usar para hacer predicciones para el tiempo$t$según la fórmula$\langle \mathrm{A}(t) \rangle = \langle \Psi(t) | A | \Psi(t) \rangle$. el vector$|\Psi(t)\rangle$no debe interpretarse como que existe físicamente en el momento$t$! Por lo tanto, no hay paso de "tiempo físico", con suerte resolviendo su confusión. Por convención también definimos el observable$A$de manera que si analizamos un sistema relativo a un marco de referencia particular y obtenemos un vector de estado$|\Psi\rangle$, entonces$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$será una predicción para el tiempo$0$de ese marco.

Por lo tanto, por definición, el vector de estado obtenido al analizar el sistema con respecto al marco actual es$|\Psi(0)\rangle$. Si consideramos un observador en otro marco cuyo tiempo$0$corresponde al tiempo$t$en el marco actual, el vector de estado que obtienen será necesariamente$|\Psi(t)\rangle$, ya que se puede utilizar para obtener predicciones de tiempo$t$del cuadro original. Debido a que el segundo marco es simplemente una traducción temporal del primero por$-t$, los dos vectores de estado están relacionados por$|\Psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\Psi(0)\rangle$, y derivando, obtenemos la ecuación 3.38.

Tiene razón acerca de las imágenes de la mecánica cuántica y el argumento más allá de la derivación de Ballentine se puede reafirmar de la forma en que lo hizo. Lo único que uno podría objetar aquí es cuando dices que$t$no es tiempo físico.

Una discusión detallada sobre el papel del tiempo en los fundamentos de la física se encuentra en los Métodos matemáticos de la mecánica clásica de Arnold, porque como se mencionó anteriormente, el papel del tiempo en la mecánica cuántica no relativista es el mismo que en la mecánica clásica: solo un parámetro. Puedes ver esto también en el libro de Ballentine, justo debajo de la ecuación (3.2) el autor considera una familia de operadores$U(s)$dónde$s$es cualquier parámetro continuo . Más adelante, justo encima de la ecuación (3.38) dice que$t=s$. Así que eso es$t$, un parámetro continuo.

¿Por qué entonces resulta difícil tratar la noción de tiempo en la mecánica cuántica? Porque en la mecánica clásica uno se basa en la experiencia física diaria y el tiempo simplemente está ahí (como en los fundamentos de la mecánica clásica). Aunque puede ser difícil definir el tiempo, todo el mundo sabe a qué te refieres cuando hablas de tiempo en la mecánica clásica. Entonces, la diferencia son las limitaciones que tenemos en mecánica cuántica para basarnos en la experiencia diaria porque todo es macroscópico.

En conclusión, si quieres puedes considerar$t$como algo no físico, solo una entidad matemática, un parámetro continuo que define una transformación unitaria$e^{isH}=e^{itH}$. Al hacerlo, todo su razonamiento es correcto, sin objeciones. Sin embargo, no encuentro nada malo con respecto a esto.$t$como tiempo físico, aunque no vemos sistemas microscópicos en nuestra experiencia diaria, la traducción del tiempo que definiste al final, es la misma traducción que experimentamos en la mecánica clásica.

Con esa aclaración, solo haré algunos comentarios sobre otras cosas que usted menciona y, finalmente, reformularé el argumento de Ballentine con todos los detalles intermedios:

1. Ambas imágenes de la mecánica cuántica se pueden utilizar como se desee. Por lo tanto, debe ser una situación en la que coincidan y es en$t=0$. Tenemos (los superíndices representan imágenes de Heisenberg y Schrödinger):

$$A^{H}(t=0)=A^{S},$$ para los operadores y

$$|\psi^{S}(t=0)\rangle=|\psi^{H}\rangle,$$ para estados

Lo importante es que los valores esperados sean los mismos independientemente de la imagen que elija (es por eso que dije que se pueden usar arbitrariamente), entonces tenemos:

$$\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle=\langle\psi|A(t)|\psi\rangle$$

Para más información sobre las imágenes les sugiero el capítulo 2 de Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai .

2. Ahora di eso en el marco$O$usted sabe la física en el momento$t$(o parámetro$s=t$si quieres). Para un segundo marco$O'$la misma física ocurre en$t'$que se convierte en tiempo$t+r$con respecto a$O$. Ahora debe ir a la Fig. 3.1 en el libro de Ballentine y la discusión debajo de ella. Dado que la física es la misma para cada cuadro:

$$|\psi'(t')\rangle=|\psi(t)\rangle$$

Pero el estado para$O'$es solo una traducción de tiempo con respecto a$O$, entonces:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t)\rangle,$$

donde parece raro tener lo mismo$t'$en la izquierda pero debes recordar que estás trabajando en la imagen de Schrödinger, lo que cambia son los estados ($\psi$a$\psi'$) y no el parámetro.

Finalmente,$t'=t+r$como se mencionó antes, entonces$t=t'-r$y:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t'-r)\rangle.$$

En este punto Ballentine dice "poner$s=t'$" y obtenemos:

$$e^{it'H}|\psi(t')\rangle=|\psi(0)\rangle.$$

Pero quieres invertir esto para obtener:

$$|\psi(t')\rangle=e^{-it'H}|\psi(0)\rangle,$$

o solo

$$|\psi(t)\rangle=e^{-itH}|\psi(0)\rangle.$$

Esos son todos los estados intermedios para la derivación de Ballentine, solo te muestro la forma rigurosa pero tu argumento es esencialmente el mismo.

Finalmente, la ecuación (3.38) se sigue de esto tomando la derivada con respecto al tiempo como dijiste.