¿Cómo se obtienen estas definiciones del tensor de impulso de energía?

Dejar$W$ser cualquiera$d$-variedad pseudo-riemanniana dimensional con métrica$h_{ab}$y deja$S(W)$ser cualquier acción definida en$W$. El tensor de energía-momento generalmente se define por (hasta un múltiplo escalar de todos modos; parece que en su caso la definición se modifica por un factor de$-4\pi$):

$$T_{ab}:=\frac{1}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}},$$ dónde $h:=\det (h_{ab})$. Por definición, bajo una variación de la acción con respecto a la métrica, $$\delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \, \delta h^{ab}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}$$ (esta es la definición de la derivada variacional). Simplemente conectando la definición de $T_{ab}$, obtenemos $$\delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \sqrt{|h|}T_{ab}\delta h^{ab}.$$ Como se mencionó antes, todos tienen una convención diferente sobre qué múltiplo escalar deben poner delante de la definición del tensor de energía-momento, pero como puede ver, esta es la forma en que su libro enumera una constante.

Sin embargo, lo que podría no ser obvio es por qué hacemos esta definición. Esta es una buena definición por un par de razones. En primer lugar, en muchos casos (¡pero no en todos!), coincide con el llamado tensor de energía-momento de Noether, es decir, el que se obtiene calculando las corrientes conservadas que surgen de la invariancia bajo traslaciones. En los casos en que no concuerde con la definición noetheriana,$T_{ab}$definido de esta manera tiende a tener mejores propiedades. Por ejemplo, en QED en espacio-tiempo plano, el tensor de energía-momento de Noether no debería ser invariante de medida, mientras que esta definición sí lo será. De manera similar, en este caso, el tensor de energía-momento de Noether no debería ser simétrico, mientras que esta definición lo será (se desprende claramente de la definición). Además, la definición de Noether no tiene sentido en el espacio-tiempo curvo: ¿qué significa "traducir" coordenadas en una esfera, por ejemplo? Sin embargo, la definición dada arriba siempre tiene sentido. Finalmente, esta es la definición que arroja la ecuación de Einstein a partir de la acción de Einstein-Hilbert .

Sé que el libro de Wald sobre la relatividad general contiene más detalles sobre esto en uno de sus apéndices (Apéndice E Formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la relatividad general ), aunque ciertamente también hay otras fuentes.